24、多循环格中最短向量问题及多序列合成算法解析

多循环格中最短向量问题及多序列合成算法解析

在数学与计算机科学领域，格中的最短向量问题以及多序列合成问题一直是研究的热点。下面将深入探讨多循环格中最短向量问题的相关研究，以及多序列线性递推合成问题的解决方法。

多循环格中最短向量问题

格的构造与性质

格的元素由移位寄存器生成器给出，通过特定的递推公式 (x_{i + 1} = \sum_{j = 1}^{l} a_j x_{i - j} \mod 2) 生成比特流，其中参数 (a = (a_1, a_2, \cdots, a_l)) 是需要选择的常数。通过求解零空间得到 (n - m) 个基向量，为确保基包含 (n) 个向量，会向基中添加矩阵 (qI_n) 的 (m) 行。

格的维度决定了其循环结构，矩阵 (A) 有 (m) 行时，会得到一个包含 (m) 个长度为 (q) 的循环的格。为了便于比较不同的格，构造格时使其行列式相等。根据闵可夫斯基不等式，这意味着最短向量的长度有相同的上界，且最短向量的期望长度也相同。具体来说，给定维度 (n) 和行列式 (d)，格的构造形式为 (\Lambda_m = {x | Ax \equiv 0 \mod p(\lceil d^{1/m} \rceil)})，其中 (p(x)) 是大于或等于 (x) 的最小质数，(A) 是一个 (m \times n) 的随机矩阵。

LLL 算法的实验结果

在实验中，将上述构造的 75 维格作为输入执行 LLL 算法。对于每个循环数，算法至少执行四次，并记录输出向量的长度和算法完成所需的迭代次数。
从实验结果来看，LLL 算法产生的向量长度似乎不依赖于所研究格的循环结构。而算法完成所