7、多项式因式分解与近似整数公约数算法解析

多项式因式分解与近似整数公约数算法解析

1. 多项式因式分解相关内容

1.1 处理多项式的能力

有研究表明，能够处理 $n > 400$，$N, D > 2000$ 的多项式，远超之前的处理范围。

1.2 构建格以寻找集合 B

为了找到关于向量 $v$ 的线性条件，不能直接使用多项式 $g_v$ 的系数，因为 $g_{u + v} = g_u g_v$，其系数与 $v$ 并非线性关系。为此，定义一个具有 $s$ 个元素的向量 $T_A(g)$（$s$ 相较于 $n$ 较小），它满足对于所有非零的 $g_1, g_2 \in Q_p[x]$，有 $T_A(g_1 g_2) = T_A(g_1) + T_A(g_2) \in Q_s^p$。

构建 $T_A(g)$ 时，要保证对于所有的 0 - 1 向量 $v$，$T_A(g_v)$ 的元素都是 $p$ - 进整数；若 $g_v \in Q[x]$，则这些元素是整数，且绝对值被 $\frac{1}{2}p^b$ 所界定（$b$ 为整数）。

$T_A(g_v) = \sum v_i T_A(f_i)$ 是 $T_A(f_i)$ 的线性组合，当 $g_v \in Q[x]$ 时，该线性组合的元素为整数。但 $T_A(f_i)$ 的元素不适合直接用于 LLL 输入向量，原因如下：
1. $T_A(f_i)$ 的元素是 $p$ - 进整数，并非有限表达式。
2. 若 $g_v \in Q[x]$，$T_A(g_v)$ 的元素是绝对值被 $\frac{1}{2}p^b$ 界定的整数，这些整数包含了 $g_v$ 系数的部分信息，在格中保留该信息效率