剑指offer之孩子们的游戏(圆圈中最后剩下的数)

题目描述

每年六一儿童节,牛客都会准备一些小礼物去看望孤儿院的小朋友,今年亦是如此。HF作为牛客的资深元老,自然也准备了一些小游戏。其中,有个游戏是这样的:首先,让小朋友们围成一个大圈。然后,他随机指定一个数m,让编号为0的小朋友开始报数。每次喊到m-1的那个小朋友要出列唱首歌,然后可以在礼品箱中任意的挑选礼物,并且不再回到圈中,从他的下一个小朋友开始,继续0…m-1报数…这样下去…直到剩下最后一个小朋友,可以不用表演,并且拿到牛客名贵的“名侦探柯南”典藏版(名额有限哦!!^_^)。请你试着想下,哪个小朋友会得到这份礼品呢？(注：小朋友的编号是从0到n-1)

解题思路

虽然知道是约瑟夫环，但还是只会暴力模拟。。书上推出了公式，献上膝盖[跪了]

![在这里插入图片描述](https://img-blog.csdnimg.cn/20190201115635649.png?x-oss-process=image/watermark,type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk,shadow_10,text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L2dxX185Nw==,size_16,color_FFFFFF,t_70

Code

• 暴力模拟

class Solution {
public:
    int LastRemaining_Solution(int n, int m)
    {
        if(n < 1 || m < 1) {
            return -1;
        }
        int vis[n+1], residuePeople = n, count = -1, result = 0;
        memset(vis, 0, sizeof(vis));
        while(residuePeople > 1) {
            for(int i = 0; i<n; i++) {
                if(vis[i]) {
                    continue;
                }
                count++;
                if(count == m-1) {
                    vis[i] = 1;
                    count = -1;
                    residuePeople--;
                }
                if(residuePeople == 1) {
                    break;
                }
            }
        }
        for(int i = 0; i<n; i++) {
            if(!vis[i]) {
                result = i;
            }
        }
        return result;
    }
};

• 评论区代码

链接：https://www.nowcoder.com/questionTerminal/f78a359491e64a50bce2d89cff857eb6
来源：牛客网

如果只求最后一个报数胜利者的话，我们可以用数学归纳法解决该问题，为了讨      论方便，先把问题稍微改变一下，并不影响原意：

 问题描述：n个人（编号0~(n-1))，从0开始报数，报到(m-1)的退出，剩下的人 继续从0开始报数。求胜利者的编号。

 我们知道第一个人(编号一定是m%n-1) 出列之后，剩下的n-1个人组成了一个新      的约瑟夫环（以编号为k=m%n的人开始）:

        k  k+1  k+2  ... n-2, n-1, 0, 1, 2, ... k-2并且从k开始报0。

现在我们把他们的编号做一下转换：

k     --> 0

k+1   --> 1

k+2   --> 2

...

...

k-2   --> n-2

k-1   --> n-1

变换后就完完全全成为了(n-1)个人报数的子问题，假如我们知道这个子问题的解： 例如x是最终的胜利者，那么根据上面这个表把这个x变回去不刚好就是n个人情 况的解吗？！！变回去的公式很简单，相信大家都可以推出来：x'=(x+k)%n。

令f[i]表示i个人玩游戏报m退出最后胜利者的编号，最后的结果自然是f[n]。

递推公式

f[1]=0;

f[i]=(f[i-1]+m)%i;  (i>1)

有了这个公式，我们要做的就是从1-n顺序算出f[i]的数值，最后结果是f[n]。 因为实际生活中编号总是从1开始，我们输出f[n]+1。

class Solution {
public:
    int LastRemaining_Solution(unsigned int n, unsigned int m)
    {
        if(n==0)
            return -1;
        if(n==1)
            return 0;
        else
            return (LastRemaining_Solution(n-1,m)+m)%n;
    }
};

• java

public class Solution {
    public int LastRemaining_Solution(int n, int m) {
        if(m == 0 || n == 0) return -1;
        int result = 0;
        for(int i = 2; i<=n; i++) {
            result = (result+m)%i;
        }
        return result;
    }
}