17、自适应在线一阶监测技术解析

自适应在线一阶监测技术解析

1 在线监测基础

在监测系统中，需要对公式 $\phi$ 进行在线监测。这里有一个映射 $V \to D$，它将域元素分配给 $\phi$ 的自由变量。我们用 $v$ 表示这个映射，同时 $v$ 也是其在域 $V \cup D$ 上的扩展，当 $t \in D$ 时，$v(t) = t$。$v[x \mapsto y]$ 表示与 $v$ 相同的函数，只是将参数 $x$ 映射到 $y$。

在线监测器接收带时间戳的数据库，这些数据库会逐步扩展有限流前缀 $\pi$。它会计算一个判决流，也就是在给定 $\pi$ 的情况下满足 $\phi$ 的赋值和时间点。通常，我们更关注违规情况，这可以通过监测否定公式来实现。

形式上，监测器实现了一个监测函数 $M_{\phi} : (N\times DB)^ \to P((V \to D) \times N)$，它将 $\pi$ 映射到监测器在观察 $\pi$ 后输出的所有判决集合。这个监测函数需要满足以下三个性质：
- 单调性 ：$\forall \pi, \pi’. \pi \preceq \pi’ \Rightarrow M_{\phi}(\pi) \subseteq M_{\phi}(\pi’)$，这禁止监测器撤回其判决。
- 正确性 ：$\forall \pi. M_{\phi}(\pi) \subseteq {(v, i) | i \leq |\pi| \land \forall \rho \succeq \pi. v, i \models_{\rho} \phi}$，要求监测器只输出满足条件