16、网络完美采样与解耦库存的排队论方法

网络完美采样与解耦库存的排队论方法

1. 网络完美采样算法 PSA - BP

1.1 算法原理证明

在网络完美采样中，对于随机变量 (Y(0)) ，有 (Y(0) \preceq Y^{\infty}(0)) ，且 (Y(0)) 具有 (Y_n)（和 (X_n)）的平稳分布。对于任意确定性时间 (t) ，通过链 (Y_n) 的反向转移函数 (\beta) 定义 (Y(-t) = \beta(Y(0), u_0, u_{-1}, \cdots, u_{-t + 1})) ，它也具有 (X_n) 的平稳分布。从时间 (-t) 开始，有 (Y^{\infty}(-t) = X^{(1)}(-t) \succeq Y(-t) \succeq X^{(2)}(-t) = 0) 。随着时间向前推进，可得 (X^{(1)}(0) \succeq \varphi(Y(-t), u_{-t + 1}, \cdots, u_0) \succeq X^{(2)}(0)) 。当 (X^{(1)}(0)) 和 (X^{(2)}(0)) 合并时，它们都具有 (X_n) 的平稳分布。

可以证明算法 PSA - BP 以概率 1 终止。因为随机变量 (Y^{\infty}(-t)) 按照平稳分布 (\pi^{\infty}) 分布，根据链 ((Y^{\infty}) {n \in N}) 的稳定性假设，有 (P(Y^{\infty}(-t) = 0) > 0) 。此时，由于 (X^{(1)}) 和 (X^{(2)}) 都由 ((Y^{\infty}) {n \in N}) 界定，所以 (X^{(1)}(-t) = X^{(2)}(-t)) ，进而 (X^{(1)}(0) = X^