Miller-Rabin素数测试法 学习笔记

一般情况下判断一个数是不是质数时间复杂度是 $O(\sqrt{n})$，用 $Miller-Rabin$ 素数测试法可以降低时间复杂度。

前置知识

$1.$ 费马小定理 $:$ 当 $p$ 为素数，且 $gcd(a,p)=1$，有 $a^{p-1}\equiv 1(\mathrm{mod}p)$，这是 $p$ 为素数的必要不充分条件。

$2.$ 二次探测定理 $:$ 当 $p$ 为素数，且 $0<x<p$，则方程 $x\equiv 1(\mathrm{mod}p)$ 的解为 $x=1$ 或 $x=p-1$。证明把 $1$ 移项即可。

$Miller-Rabin$

除 $2$ 以外，所有的 $p-1$ 都可以表示为 $2^t\times u$ 的形式，则 $a^{p-1}$ = $a^{2^t\times u}$ = $a^{u^{2^t}}$。所以我们构造一个 $b$ 数组，令 $b[0]=a^u$，只需要每次都平方，$b[i]=b[i-1{]}^2$，则 $b[t]=a^{u^{2^t}}$。构造出 $b[i]$ 之后根据二次探测定理进行判断。如果 $b[i]=1$，则 $b[i-1]=1$ 或 $b[i-1]=p-1$，如果不满足以上的条件，那么 $p$ 一定是合数，如果满足了，那么 $p$ 很有可能是质数。

由于自乘 $k$ 次，最后会得到 $a^{p-1}$，如果模 $p$ 不等于 $1$，那么不满足费马小定理，也是合数。

用 $2,3,5,7,11,13,17$ 这几个数，在 $OI$ 范围内出错的概率为 $0$。

注意会爆 $longlong$，可以用快速乘或者是 __$int128$。

#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstring>
#include <cmath>
#define re register
#define int __int128
#define drep(a,b,c) for(re int a(b) ; a>=(c) ; --a)
#define rep(a,b,c) 	for(re int a(b) ; a<=(c) ; ++a)
using namespace std;
inline int read(){
	int x=0,f=1;char ch=getchar();
	while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch == '-') f=-1 ; ch=getchar();}
	while(ch>='0'&&ch<='9'){x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^48);ch=getchar();}
	return x*f;
}
inline void print(int x){
	if(x < 0) putchar('-'),x = -x;
	if(x >= 10) print(x / 10);
	putchar(x % 10 + '0');
}
const int M = 10;
const int mod = 998244353;
const int prime[] = {0,2,3,5,7,11,13,17};
int T,n;
inline int ksm(int x,int y,int p){
	int res = 1;
	while(y){
		if(y&1) res = res*x%p;
		x = x*x%p;
		y>>=1;
	}
	return res%p;
}
inline void work(){
	int n = read();
	if(n == 1) { printf("NO\n"); return; }
	int t = n-1,k = 0;
	while(!(t&1)) k++,t>>=1;
	rep(i,1,7){
		if(n == prime[i]) { printf("YES\n"); return; }
		int base = ksm(prime[i],t,n),now = base;
		rep(j,0,k){
			now = base*base%n;
			if(now == 1 && base^1 && base^(n-1)) { printf("NO\n"); return; }
			base = now;
		}
		if(base^1) { printf("NO\n"); return; }
	}
	printf("YES\n");
	return;
}
signed main(){
	T = read();
	while(T--) work();
	return 0;
}