矩阵快速幂

在讨论矩阵快速幂之前，先讨论这样一个问题，如何计算x^k？
其中k为正整数。
例如，我们计算x^8
一个直接的办法是，依次用x乘以前面得到的计算结果，如下
第一步,ans = x
第二步,ans = ans * x = x^2
第三步,ans = ans * x = x^3
...
第八步,ans = ans * x = x^8
即，ans = x*x*x*x*x*x*x*x


在上面的计算过程中，乘法运算总共7次
如何才能让我们的乘法运算次数减少呢？
嗯，仔细思考一下，我们其实可以这样计算，让它进行乘法运算的次数大大减少，如下
第一步,ans = x * x
第二步,ans = ans * ans = x^4
第三步,ans = ans * ans = x^8
即，ans = (((x^2)^2)^2)
计算完毕，乘法计算次数变为三次


或许这样对于效率的提升感受不太直观，考虑计算x^1024
按照第一种方法，总共乘法运算次数为1023次

采用第二种方法，总共计算次数仅仅需要10次

这就是快速幂的基本原理

不过，等等，我们好像还是有个问题没有解决，假设k为奇数怎么办？
比如，计算x^7该怎么办？
在具体计算中，我们用x来标记当前的累乘结果，ans表示最终结果

算法描述如下(迭代)：
1、初始化ans = 1,
2、当k>0时，进行如下循环
如果k为奇数，分出一个x到ans中去，即ans = ans * x
k/=2，计算x的平方，即x = x*x
3、k为0时，跳出循环，返回ans结果
计算x^7 = x*((x^3)^2) = x*((x*(x^2))^2)

int quickpow(int x,int k)
{
    int ans=1;
    while (k>0)
    {
        if (k%2==1)
            ans=ans*x;
        x=x*x;
        k=k/2;
    }
    return ans;
}

算法复杂度为logk，

所谓矩阵快速幂，我们只需要把上面的x当做矩阵即可，即计算A^k

注意，从矩阵知识我们可以知道，A一定是方阵

典型的计算A和B的矩阵乘法如下

void multiply(int A[][M],int B[][M],int m,int C[][M])//M为大于m的常量
{
	for(int i=0;i<m;++i){
		for(int j=0;j<m;++j){
			for(int k=0;k<m;++k)
				C[i][j]+=A[i][k]*B[k][j];//如有必要，取模
		}
	}
}

计算A^k的算法复杂度为o(m^3*logk)，其中m为矩阵的维度