PKU-3264 Balanced Lineup (RMD之ST算法)

原题链接 http://poj.org/problem?id=3264

Balanced Lineup

Description

For the daily milking, Farmer John's N cows (1 ≤ N ≤ 50,000) always line up in the same order. One day Farmer John decides to organize a game of Ultimate Frisbee with some of the cows. To keep things simple, he will take a contiguous range of cows from the milking lineup to play the game. However, for all the cows to have fun they should not differ too much in height.

Farmer John has made a list of Q (1 ≤ Q ≤ 200,000) potential groups of cows and their heights (1 ≤height ≤ 1,000,000). For each group, he wants your help to determine the difference in height between the shortest and the tallest cow in the group.

Input

Line 1: Two space-separated integers, N andQ.
Lines 2..N+1: Line i+1 contains a single integer that is the height of cowi
Lines N+2..N+Q+1: Two integers A and B (1 ≤A ≤B ≤ N), representing the range of cows from A toB inclusive.

Output

Lines 1..Q: Each line contains a single integer that is a response to a reply and indicates the difference in height between the tallest and shortest cow in the range.

Sample Input

6 3
1
7
3
4
2
5
1 5
4 6
2 2

Sample Output

6
3
0

Source Code

/*
RMQ (Range Minimum/Maximum Query)问题-------Sparse-Table算法

ST（Sparse Table）算法是一个非常有名的在线处理RMQ问题的算法，它可以在O(nlogn)时间内进行预处理，然后在O(1)时间内回答每个查询。

首先是预处理，用动态规划（DP）解决。
设A[i]是要求区间最值的数列，F[i, j]表示从第i个数起连续2^j个数中的最大值。
例如数列3 2 4 5 6 8 1 2 9 7，F[1，0]表示第1个数起，长度为2^0=1的最大值，其实就是3这个数。 
F[1，2]=5，F[1，3]=8，F[2，0]=2，F[2，1]=4……从这里可以看出F[i,0]其实就等于A[i]。
这样，DP的状态、初值都已经有了，剩下的就是状态转移方程。我们把F[i，j]平均分成两段（因为f[i，j]一定是偶数个数字），
从i到i+2^(j-1)-1为一段，i+2^(j-1)到i+2^j-1为一段(长度都为2^（j-1）)。
用上例说明，当i=1，j=3时就是3,2,4,5 和 6,8,1,2这两段。F[i，j]就是这两段的最大值中的最大值。
于是我们得到了动态规划方程F[i, j]=max（F[i，j-1], F[i + 2^(j-1)，j-1]）。

然后是查询。取k=[log2(j-i+1)]，则有：RMQ(A, i, j)=min{F[i,k],F[j-2^k+1,k]}。
举例说明，要求区间[2，8]的最大值，总共2到8是7个元素，所以k=2，那么就要把它分成[2,5]和[5,8]两个区间，
因为这两个区间的最大值我们可以直接由f[2，2]和f[5，2]得到。
*/

#include <iostream>
#include <cmath>
using namespace std;

#define Max 50005
#define max(a, b) (a > b) ? a : b
#define min(a, b) (a < b) ? a : b

int MaxValue[Max][17], MinValue[Max][17];

int main() {
	int N, Q, heights[Max];
	int i, j;
	int start, end;
	while(scanf("%d %d", &N, &Q) != EOF) {
		for (i = 1; i <= N; i++) {
			scanf("%d", &heights[i]);
		}

		//初始化，f[i][j](j == 0)即第i个数的大小
		for (i = 1; i <= N ; i++) {
			MaxValue[i][0] = heights[i];
			MinValue[i][0] = heights[i];
		}

		//预处理 
		/*
		  这里 (i,j)指A[i]数组中第i个数到第j个数之间的最值
		  j = 1，f[i][1]会根据初始化的值(f[i][0])计算出(1,2) (2,3) (3,4) (4,5)……等每个区间的最值
				 (1,2)直接取1和2的大小，(2,3)直接取2和3的大小………
		  j = 2, f[i][2]会根据f[i][1]计算出(1,4) (2,5) (3,6) (4,7) (5,8) (6,9)……等每个区间的最值
		         (1,4)直接取(1,2)和(3,4)的大小，(2,5)直接取(2,3)和(4,5)的大小……
		  j = 3, f[i][3]会根据f[i][2]计算出(1,8) (2,9) (3,10) (4,11)……等每个区间的最值
		         (1,8)直接取(1,4)和(5,8)的大小，(2,9)直接取(2,5)和(6,9)的大小……
		  ……………………
		*/
		for (j = 1; j <= log((double)N) / log(2.0); j++) {
			for (i = 1; i + (1 << j) - 1 <= N; i++) {
				MaxValue[i][j] = max(MaxValue[i][j - 1], MaxValue[i + (1 << (j - 1))][j - 1]);
				MinValue[i][j] = min(MinValue[i][j - 1], MinValue[i + (1 << (j - 1))][j - 1]);
			}
		}

		while(Q --) {
			scanf("%d %d", &start, &end);
		    
			//查询
			int k = log((double)(end - start + 1)) / log(2.0);
			int maxValue = max(MaxValue[start][k], MaxValue[end - (1 << k) + 1][k]);
			int minValue = min(MinValue[start][k], MinValue[end - (1 << k) + 1][k]);
			printf("%d\n", maxValue - minValue);
		}
	}
}