大数据——协同过滤推荐算法:线性回归算法

推荐系统中的协同过滤算法一般分为两大类：

• 基于行为的协同过滤算法(Memory-Based CF)，利用用户行为数据计算相似度，包括用户之间的相似度和物品之间的相似度。
• 基于模型的协同过滤算法(Model-Based CF)，利用机器学习算法预测用户的喜好程度，一般用户数据较为稀疏的时候更适合这种方法。

本文主要介绍Model-Based协同过滤算法

1、Model-Based CF基于模型协同过滤算法

利用用户-物品评分矩阵训练机器学习模型，从而预测用户对物品的评分，主要可以分为以下几类：

• 基于分裂、回归或者聚类算法
• 基于矩阵分解的推荐算法
• 基于神经网络算法
• 基于图模型算法

2、基于回归模型算法的协同过滤

回归模型的前提是连续的值，我们将评分看做连续的值，采用以下Baseline(基准预测)实现策略。其思想是运用每个人的偏好不同：

有些用户比较好心，他的评分高于其他用户，有些用户比较苛刻，他的评分低于其他用户；而部分物品比较受欢迎，它的评分高于一般物品，部分物品可能会被嫌弃，它的评分会低于一般物品。

而Baseline则是通过找出每个用户与其他用户的评分偏置值$b_u$，每个物品与其他物品的偏置值$b_i$，最终的目标也就变成了寻找最优的$b_u$和$b_i$。所以Baseline算法的步骤如下：

1. 计算所有电影的平均评分$u$;
2. 计算每个用户的评分与平均评分的偏置值$b_u$;
3. 计算每部电影的评分与平均评分的偏置值$b_i$；
4. 预测用户对电影的评分：
   $${\hat{r}}_{ui}=b_{ui}=u+b_u+b_i$$

以用户A对《封神第一部》的评分为例：

1. 首先计算所有电影的平均评分$u=3.5$；
2. 用户A比较好心，普遍比平均分高1分，偏置值$b_u=1$；
3. 《封神第一部》一开始差评比较多，评分比平均分低0.5分，偏置值$b_i=-0.5$；
4. 则用户A对《封神第一部》的评分为：3.5+1-0.5=4.1分。

在线性回归问题中，我们用平方差构建损失函数：
$$Cost=\sum _{u,i\in R}(r_{ui}-{\hat{r}}_{ui}{)}^2=\sum _{u,i\in R}(r_{ui}-u-b_u-b_i{)}^2$$
为了防止过拟合，需要加入L2范式，最后的公示如下：
$$Cost=\sum _{u,i\in R}(r_{ui}-u-b_u-b_i{)}^2+\lambda (\sum _u{b_u}^2+\sum _i{b_i}^2)$$
我们希望得到损失函数的最小值，一般会采用随机梯度下降法或者最小二乘法来优化实现。

2.1 Baseline随机梯度下降法算法

step1：梯度下降法推导：
J(θ)=f(bu,bi)J(θ) = f(b_u,b_i)J(θ)=f(b