算法基础

数据结构与算法（1）

算法概述

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算法定义（Algorithm）

为了解决某个或某类问题，需要把指令表示成一定的操作序列，操作序列包括一组操作，没一个操作都完成特定的功能。

算法的特性

• 输入输出
• 有穷性
• 确定性
• 可行性

算法设计的要求

• 正确性
• 可读性
• 健壮性
• 时间效率高和存储量低

算法效率的度量方法

• 事后统计方法
• 事前分析估计算法

事前分析估计算法

1、算法采用的策略、方法
2、编译产生的代码质量
3、问题的输入规模
4、机器执行指令的速度

函数渐进增长

算法时间复杂度

• 定义
• 推导大O阶方法
• 常数阶
• 线性阶

定义

在进行算法分析时，语句总的执行次数$\ T（n）$是关于问题规模n的函数，进而分析$\ T（n）$随n的变化情况并确定$\ T（n）$的数量级。算法的时间复杂度。也就是算法的时间量度。记作：$\ T(n) = O（f(n)）$。它表示问题规模n的增大，算法执行时间的增长率和$\ f（n）$的增长率相同，乘坐算法的渐进时间复杂度，简称为时间复杂度。其中$\ f（n）$ 是问题规模n的某个函数。

推导大O阶方法

推导大O阶：
1、用常数1取代运行时间中的所有加法常数。
2、在修改后的运行次数函数中，只保留最高阶项。
3、如果最高阶项存在且不是1，则去除与这个项相乘的常数。

常数阶

对于分支结构，执行次数都是恒定的，不会随着n的变化而发生变化，所以单纯的分支结构，其时间复杂度也是$\ O(1)$

线性阶关

线性阶的循环结构会复杂很多，要确定某个算法的层次，我们差国产需要确定某个特定语句或者某个语句集运行的次数。因此，关键就是要分析循环结构的运行情况。

对数阶

EXAMPLE

int count = ;
while (count < n)
{
    count = count * 2;
}

由于每次count * 2以后，就距离n更近了一份，也就是说，有多少个2相乘后大于n，则会退出循环。由$\ 2^x=n$
，得到$\ x=log_2^n$。所以这个循环的时间复杂度为$\ O(log n)$ 。

平方阶

嵌套循环

int i,j;
for (i = 0; i < n; i++)
{
    for(j = 0; j < n; j++)
    {
        /*时间复杂度为O(1)的程序步骤序列 */
    }
}

对于外层的循环，不过是内部这个时间复杂度为$\ O(n)$的语句，再循环n次。所以这段代码的时间复杂度为$\ O(n^2)$
如果外循环的 循环次数改为了m，时间复杂度就变为了$\ O(m*n)$。
所以我们可以总结得出，循环的时间复杂度等于复杂度该循环运行的次数。

常见的时间复杂度

$\ O(1) \lt O(log n ) \lt O(n log n) \lt O(n^2 )\lt O(n^3) \lt O(2^n) ……$

最坏情况与平均情况

算法空间复杂度

算法的空间复杂度通过计算算法所需的存储空间实现，算法空间负载度的计算公式记作：
$\ S(n) = O(f(n))$,其中，n为问题的规模，$\ f(n)$为语句关于n所占存储空间的函数。

接下来要学习的东西

线性表

栈与队列

串

树

图

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