chapter9 基变换

最新推荐文章于 2024-10-03 17:41:28 发布
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分类专栏： 学习笔记
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本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/github_37271956/article/details/78761773
本文探讨了坐标系转换的基本原理，介绍了如何通过基变换矩阵实现不同坐标系下向量的转换，并解释了线性变换在不同坐标系下的表示方法。

摘要生成于 C知道 ，由 DeepSeek-R1 满血版支持， 前往体验 >

  1. 发生在向量与一组数之间的任意一种转化，都被称为一个坐标系。

  2. 使用不同的基向量会怎么样？

  3. 下面所说的詹妮弗的语言描述的向量,就是不同坐标系下的同一向量

  4. 同一个向量，我们如何在不同的坐标系之间进行转化？
    是的，就是矩阵的乘法这里写图片描述

    基变换矩阵的逆 * 我们语言描述的矩阵 = 詹妮弗的语言描述的向量

  5. 这里写图片描述,这个矩阵的列代表的是詹妮弗的基向量，却是用我们的语言来描述，对于一个向量，这个矩阵将她的语言描述转化为我们的语言描述。

  6. 但是，这里写图片描述，这些列代表的仍是我们的基而不是她的基。

  7. 那么詹妮弗的空间中的线性变换如何表示？

    这里写图片描述

    (1)从詹妮弗的语言描述的任一向量出发，
    (2)首先，我们不用她的语言描述这一过程，而是用基变换转化为我们的语言。
    (3)最后，，，，

  8. 矩阵相似:就是同一线性变换在不同坐标系下的不同表现形式

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<br />for (j=0;j<16;j)<br />   {<br />       for (i=0;i<16;i)<br />       {<br />      M1[ i ][j]=imgY_org[img->opix_y+j][img->opix_x+i]-img->mprr_2[k][j][ i ];       计算当前宏块残差块<br />      M0[i%4][i/4][j%4][j/4]=M1[ i ][j];<br />       }<br />   }<br />   c
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### 基变换的概念 基变换是指在线性代数中，将向量从一个基表示转换到另一个基表示的过程。假设有一个向量 \( v \)，在标准基下的坐标为 \( (v_1, v_2, ..., v_n) \)，如果要将其转换到另一组基下，则需要利用这两个基之间的关系矩阵完成这一过程。 具体来说，设原基为 \( B = \{b_1, b_2, ..., b_n\} \)，新基为 \( C = \{c_1, c_2, ..., c_n\} \)，则可以通过找到从基 \( B \) 到基 \( C \) 的过渡矩阵 \( P_{C \leftarrow B} \) 来实现这种变化[^3]。 ### 实现方法 为了实现基变换，可以按照如下方式操作： #### 1. 找到过渡矩阵 过渡矩阵 \( P_{C \leftarrow B} \) 定义为满足以下条件的矩阵： \[ [v]_B = P_{C \leftarrow B}[v]_C \] 其中，\( [v]_B \) 和 \( [v]_C \) 分别代表向量 \( v \) 在基 \( B \) 和基 \( C \) 下的坐标表示。过渡矩阵的具体构建方法是从旧基 \( B \) 中每一个向量出发，在新的基 \( C \) 上表达出来形成列向量，并把这些列向量组合成矩阵形式[^2]。 #### 2. 使用过渡矩阵进行坐标转换 一旦得到了过渡矩阵 \( P_{C \leftarrow B} \)，就可以通过简单的矩阵乘法来计算不同基底下的坐标值。例如，已知某个向量在基 \( B \) 下的坐标 \( [v]_B \)，那么该向量在基 \( C \) 下的坐标可通过下面公式得到： \[ [v]_C = P^{-1}_{C \leftarrow B}[v]_B \] 这里需要注意的是，由于 \( P_{C \leftarrow B} \) 可逆（因为它是两个相同维度空间之间的一一映射），所以可以直接取其逆来进行反方向上的基变换[^4]。 ```python import numpy as np # Example of basis change using NumPy library. def basis_change(v_B, P_C_to_B): """ Perform a base transformation from one coordinate system to another. Parameters: v_B : array_like Coordinates of vector &#39;v&#39; under the original basis B. P_C_to_B : ndarray Transition matrix that maps coordinates between bases C and B. Returns: v_C : ndarray The transformed coordinates of vector &#39;v&#39; under new basis C. """ # Ensure input is treated as arrays for computation purposes. v_B_array = np.array(v_B).reshape(-1, 1) # Compute inverse transition matrix since we need P^-1 * v_B here. inv_P = np.linalg.inv(P_C_to_B) # Apply formula: [v]_C = P^(-1)[v]_B v_C = np.dot(inv_P, v_B_array) return v_C.flatten() # Example usage with dummy data points. if __name__ == "__main__": old_coords = [1, 0] # Vector represented in some initial basis B. trans_matrix = [[1, -1], [1, 1]] # Hypothetical transition matrix P_C->B result = basis_change(old_coords, trans_matrix) print("New coordinates after changing basis:", result) ``` 以上代码片段展示了如何借助 Python 编程语言中的 `NumPy` 库执行具体的基变换任务。此脚本定义了一个函数用来接受原始坐标的数组以及相应的转移矩阵作为参数输入，并返回经过基变之后的新坐标位置[^4]。
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