chapter7 点积与对偶性

1. 如,相同维数的向量才能进行点积。

2. 虽然引入点积的标准方法只需要向量的基础认识即可，但是要进行更进一步的理解点积所发挥的作用，只能从线性变换的角度才能完成。

3. 将向量w朝着过原点和？？？？？

4. 究竟为什么点积这一运算过程，也就是对应坐标相乘并将结果相加，和投影有所联系？
   问题的答案源于对偶性。

5. 

6. 之前不就说矩阵是一种线性变换么？向量也是矩阵的一种吧。。

7. 那么我们可以发现1x2 matrices <-> 2d vector，1x2矩阵与二维向量之间有着微妙的联系。

8. 但是点积的意义不止如此吧？(上面暗示了，从几何角度可以看到一些美妙的事情)

9. 为什么点积是一种可交换运算呢？因为对偶性？

下面一段理解有难度
我来举个例子说明这种关系的重要性。

1. 现在将数轴复制一份，然后保持0在原点，将它斜向放置在空间中。

2. 现在考虑这样一个二维向量，它的终点落在这条数轴的1上，我们称之为

3. 如果将二维向量直接投影到这条数轴上，那么我们就这样定义了一个从二维向量到数的函数。

4. 并且，这个函数是线性的，即直线上等距分布的点在投影到数轴后仍然等距分布。

5. 这里说明一下，即便我们将这条数轴放在二维空间中，上述函数的输出结果还是数，而不是二维向量。

6. 你应该把它看作是一个接收两个坐标并输出一个坐标的函数。

7. 不过。
   是二维空间的向量，而它碰巧有落在这条数轴上。

8. 根据这个投影，我们定义了一个从二维向量到数的一个线性变换，所以我们就能找到描述这个变换的1x2矩阵(投影矩阵)。

9. 为了找到这个矩阵，我们把这条斜着的数轴放大来看。

10. 考虑变换后的位置，因为他们就是矩阵的列。

11. 两个向量点乘：就是将其中一个向量转化为线性变换。

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难以理解吧？请看视频

好吧，大家下去感受感受。

继续3Blue1Brown的《线性代数的本质》(微信用户请点击阅读原文)

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