【DP入门】开心的小明（01背包）

最新推荐文章于 2025-03-24 06:45:08 发布

Ampersand

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分类专栏：算法入门

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本文介绍了一道典型的01背包问题，并提供了详细的解决方案。通过一个具体的例子，文章讲解了如何利用动态规划的方法来解决此类问题，包括算法思路、代码实现及优化技巧。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题目来自nyist第49题，如下：

描述

小明今天很开心，家里购置的新房就要领钥匙了，新房里有一间他自己专用的很宽敞的房间。更让他高兴的是，妈妈昨天对他说：“你的房间需要购买哪些物品，怎么布置，你说了算，只要不超过N 元钱就行”。今天一早小明就开始做预算，但是他想买的东西太多了，肯定会超过妈妈限定的N 元。于是，他把每件物品规定了一个重要度，分为5 等：用整数1~5 表示，第5 等最重要。他还从因特网上查到了每件物品的价格（都是整数元）。他希望在不超过N 元（可以等于N 元）的前提下，使每件物品的价格与重要度的乘积的总和最大。设第j 件物品的价格为v[j]，重要度为w[j]，共选中了k 件物品，编号依次为j1...jk，则所求的总和为：v[j1]*w[j1]+..+v[jk]*w[jk]请你帮助金明设计一个满足要求的购物单.
输入
第一行输入一个整数N(0<N<=101)表示测试数据组数
每组测试数据输入的第1 行，为两个正整数，用一个空格隔开：
N m
（其中N（<30000）表示总钱数，m(<25)为希望购买物品的个数。）
从第2 行到第m+1 行，第j 行给出了编号为j-1
的物品的基本数据，每行有2 个非负整数
v p
（其中v 表示该物品的价格（v≤10000），p 表示该物品的重要度（1~5））
输出
每组测试数据输出只有一个正整数，为不超过总钱数的物品的价格与重要度乘积的总和的

最大值（<100000000）

经典的01背包问题，唯一区别是要将一个数据进行处理。DP解法：设置dp数组存储重要度价值权值和，dp[i]表示i元钱能买到的最大重要程度（以后简称重要度），当考虑到第j件价格为v，重要度为p的物品时，dp[i]值等于它本身以及dp[i-v]+p两者的最大值，分别表示物品j不放入背包和放入背包的情况。对每个物品以及能放下该物品的dp数组某段进行二重循环对dp赋值即可。

代码如下：

#include <stdio.h>
#define max(a,b) a>b?a:b
struct Node{
	int v,p;
}node[26];

int main()
{
	register int i,j,N,m,NN;
	scanf("%d",&NN);
	while(NN--)
	{
		scanf("%d %d",&N,&m);
		int dp[30000+5] = {0};
		for(i = 0;i < m;i++)
		{
			scanf("%d %d",&(node[i].v),&(node[i].p));
			node[i].p = node[i].v * node[i].p;
			for(j = N;j >= node[i].v;j--) 
				dp[j] = max(dp[j],dp[j-node[i].v]+node[i].p);
		}
		printf("%d\n",dp[N]);
	}
	return 0;
}

这里主要提一下关于时间的优化问题，经试验 dp数组开在循环里面与dp数组开在全局，然后循环里面用memset清零是一个级别的空间开销，可能是编译器进行了优化。虽然两者空间开销相同，但是时间开销差别很大，memset相当于多了个循环，虽然比直接写for循环快，但是比数组开在循环内要慢的多。此外能放在一个for循环中的内容尽量放在一起，好比：for（）｛a;｝for（）｛b;｝与for（）｛a;b;｝时间是有差异的，而且不小，原因暂时未知，希望知道的dalao给予指点。平时做题的时候可以注意一下，多做一些优化。