概率图模型1：隐马尔科夫(1)

作者：相国大人

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概率图模型系列博文目录（实时更新,点此处）

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1. 导读

参考文献

• 《机器学习郑捷》第11章
• 机器学习周志华 14章
• 《统计学系方法》第10章
• 《概率图模型》第3章贝叶斯网表示和马尔科夫
• 《驾驭文本》

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隐马尔科夫模型

两个基本假设：

1. 齐次马尔科夫性假设：隐藏的马尔科夫链在任意时刻$t$的状态只依赖于前一时刻的状态，与其他时刻的状态及观测无关，也与时刻$t$无关。

2. 观测独立性假设：任意时刻的观测只依赖于该时刻的马尔科夫链的状态，与其他观测及状态无关。

说人话，就下面这个图，其中箭头和连边表示概率依赖。

从这个图中，我们可以很轻松的对后面的一些公式做推导。比如：

$$\left( o_{t+1}|o_{1:t},I_{t+1}=q_i\right)=\left( o_{t+1}|I_{t+1}=q_i\right)\tag{1.1}$$
上面的公式为了书写简便，我们省略掉了概率符号$P$（下同），并且用$o_{1:t}$表示$\left(o_1,\cdots,o_t \right)$(下同)。
$$\left( I_{t+1}=q_i|o_{1:t},I_t=q_j\right)=\left( I_{t+1}=q_i|I_t=q_j\right)\tag{1.2}$$

$$\left( o_{t+1:T}|I_{t+1}=q_i,I_t=q_i\right)=\left( o_{t+1:T}|I_{t+1}=q_i\right)\tag{1.3}$$

$$\left( o_{t+2:T}|I_{t+1}=q_j,o_{t+1}\right)=\left( o_{t+2:T}|I_{t+1}=q_j\right)\tag{1.4}$$

$$\left( I_{t+1}|o_{1:t},I_t\right)=\left( I_{t+1}|I_t\right)\tag{1.5}$$

$$\left(o_{t+1}|I_{t+1},o_{1:t},I_t \right)=\left(o_{t+1}|I_{t+1}\right)\tag{1.6}$$

基本定义：

转移概率$a_{ij}=\left( I_{t+1}=q_j|I_t=q_i\right)$

观测概率$b_j\left(o_t\right)=\left(o_t|I_t=q_j\right)$

初始状态概率$\pi_i=P\left(I_1=q_i\right)$

隐马尔科夫模型的3个基本问题

1. 概率计算
2. 学习问题
3. 预测问题/解码问题

概率计算问题

前向算法

前向概率$\alpha_t\left(i\right)=\left(o_{1:t},I_t=q_i\right)$

转移概率$a_{ij}=\left( I_{t+1}=q_j|I_t=q_i\right)$

观测概率$b_j\left(o_t\right)=\left(o_t|I_t=q_j\right)$

初始状态概率$\pi_i=P\left(I_1=q_i\right)$

初始前向概率：

$$\begin{equation}\begin{split}\alpha_1\left(i\right)&=\left(o_{1},I_1=q_i\right) \\&=\left(I_1=q_i\right)\left(o_1|I_1=q_i\right)\\&=\pi_ib_i\left(o_1\right)\end{split}\tag{1.8}\end{equation}$$
前向概率的迭代推导：
$$\begin{equation} \begin{split} \alpha_{t+1}\left(i\right)&=\left(o_{1:t+1},I_{t+1}=q_i\right) \\ &= \left(o_{1:t},I_{t+1}=q_i\right)\left( o_{t+1}|o_{1:t},I_{t+1}=q_i\right)\\ &= \left(o_{1:t},I_{t+1}=q_i\right)\left( o_{t+1}|I_{t+1}=q_i\right)\text{(由公式(1.1)得来)}\\ &=\left(o_{1:t},I_{t+1}=q_i\right)b_i\left(o_{t+1}\right)\\ &=\left(\sum_j\left(o_{1:t},I_t=q_j,I_{t+1}=q_i\right)\right)b_i\left(o_{t+1}\right)\\ &=\left(\sum_j\left(o_{1:t},I_t=q_j\right)\left(I_{t+1}=q_i|o_{1:t},I_t=q_j\right)\right)b_i\left(o_{t+1}\right)\\ &=\left(\sum_j\left(o_{1:t},I_t=q_j\right)\left(I_{t+1}=q_i|I_t=q_j\right)\right)b_i\left(o_{t+1}\right)\text{(由公式(1.2)得来)}\\ &=\left(\sum_j\alpha_t\left(j\right)a_{ji}\right)b_i\left(o_{t+1}\right) \end{split}\tag{1.9} \end{equation}$$
终止状态推导：
$$\begin{equation} \begin{split} P\left(O |\lambda \right)&=\left(o_{1:T}|\lambda\right) \\ &=\sum_i^N \left(o_{1:t},I_{T}=q_i\right)\\ &=\sum_i^N\alpha_T\left(i\right) \end{split}\tag{1.10} \end{equation}$$
算法1.1(观测序列概率的前向算法)

输入：隐马尔科夫模型$\lambda$，观测序列$O$；

输出：观测序列概率$P\left( O|\lambda\right)$。

1. 根据公式$(1.8)$，设定初值。

2. 根据公式$(1.9)$递推。其中$t=1,2,\cdots,T-1$。

3. 终止。根据公式$(1.10)$得到输出。

python实现（李航《统计学习方法》177页例题10.2）：

#!/usr/bin/env python
# -*- coding: UTF-8 -*-
"""
@author: XiangguoSun
@contact: sunxiangguodut@qq.com
@file: forward_prob.py
@time: 2017/3/13 8:53
@software: PyCharm
"""
import numpy as np


def forward_prob(model, Observe, States):
    '''
    马尔科夫前向算法
    '''

    A, B, pi = model
    N = States.size
    T = Observe.size

    alpha = pi*B[:, Observe[0]]
    print "（1）计算初值alpha_1(i):   ",alpha

    print "(2) 递推..."
    for t in xrange(0, T-1):
        print "t=", t+1,"   alpha_",t+1,"(i):",alpha
        alpha = alpha.dot(A)*B[:, Observe[t+1]]

    print "(3)终止。alpha_",T,"(i):    ", alpha
    print "输出Prob:  ",alpha.sum()
    return alpha.sum()


if __name__ == '__main__':
    A = np.array([[0.5, 0.2, 0.3],
                  [0.3, 0.5, 0.2],
                  [0.2, 0.3, 0.5]])

    B = np.array([[0.5, 0.5],
                  [0.4, 0.6],
                  [0.7, 0.3]])

    pi = np.array([0.2, 0.4, 0.4])

    model = (A, B, pi)

    Observe = np.array([0, 1, 0])

    States = np.array([1, 2, 3])

    forward_prob(model,Observe,States)

后向算法

后向概率：$\beta_t\left( i\right)=\left( o_{t+1:T}|I_t=q_i\right)$

初始后向概率：$\beta_T\left(i\right)=1,i=1,2,\cdots,N$

后向概率迭代推导：

$$\begin{equation} \begin{split} \beta_t\left(i\right)&=\left(o_{t+1:T}|I_t=q_i\right) \\ &=\sum_j^N \left(o_{t+1:T},I_{t+1}=q_j|I_{t}=q_i\right)\\ &=\sum_j^N\left(I_{t+1}=q_j|I_{t}=q_i\right) \left(o_{t+1:T}|I_{t+1}=q_j,I_{t}=q_i\right)\\ &=\sum_j^N\left(I_{t+1}=q_j|I_{t}=q_i\right) \left(o_{t+1:T}|I_{t+1}=q_j\right)\text{(由公式(1.3)得到)}\\ &=\sum_j^N\left(I_{t+1}=q_j|I_{t}=q_i\right) \left(o_{t+1}|I_{t+1}=q_j\right)\left(o_{t+2:T}|I_{t+1}=q_j，o_{t+1}\right)\\ &=\sum_j^N a_{ij} b_j\left(o_{t+1}\right) \beta_{t+1}\left(j\right) \end{split}\tag{1.11} \end{equation}$$
终止状态推导：
$$\begin{equation} \begin{split} P\left(O|\lambda\right)&=\left(o_{1:T}|\lambda\right) \\ &=\sum_{i=1}^N \left(o_{1:T},I_{1}=q_i\right)\\ &=\sum_{i=1}^N \left(I_1=q_i\right)\left(o_{1:T}|I_{1}=q_i\right)\\ &=\sum_{i=1}^N \left(I_1=q_i\right)\left(o_1|I_1=q_i\right)\left(o_{2:T}|o_1,I_{1}=q_i\right)\\ &=\sum_{i=1}^N\pi_i b_i\left(o_i\right)\left(o_{2:T}|I_{1}=q_i\right)\\ &=\sum_{i=1}^N\pi_i b_i\left(o_i\right)\beta_1\left(i\right) \end{split}\tag{1.12} \end{equation}$$
算法1.2(观测序列概率的后向算法)

输入：隐马尔科夫模型$\lambda$，观测序列$O$；

输出：观测序列概率$P\left( O|\lambda\right)$。

1. 设定后向概率初值为1。
2. 根据公式$(1.11)$递推。其中$t=T-1,T-2,\cdots,1$。
3. 终止。根据公式$(1.12)$得到输出。

python实现（李航《统计学习方法》177页例题10.2）：

#!/usr/bin/env python
# -*- coding: UTF-8 -*-
"""
@author: XiangguoSun
@contact: sunxiangguodut@qq.com
@file: markov.py
@time: 2017/3/13 8:53
@software: PyCharm
"""
import numpy as np


def forward_prob(model, Observe, States):
    '''
    马尔科夫前向算法
    '''

    A, B, pi = model
    N = States.size
    T = Observe.size

    alpha = pi*B[:, Observe[0]]
    print "（1）计算初值alpha_1(i):   ",alpha

    print "(2) 递推..."
    for t in xrange(0, T-1):
        alpha = alpha.dot(A)*B[:, Observe[t+1]]
        print "t=", t + 1, "   alpha_", t + 1, "(i):", alpha

    print "(3)终止。alpha_",T,"(i):    ", alpha
    print "输出Prob:  ",alpha.sum()
    return alpha.sum()


def backward_prob(model,Observe,States):
    '''
      马尔科夫后向算法
      '''

    A, B, pi = model
    N = States.size
    T = Observe.size

    beta = np.ones((N,))  # beta_T
    print "（1）计算初值beta_",T,"(i):   ", beta

    print "(2) 递推..."
    for t in xrange(T - 2, -1, -1):  # t=T-2,...,0
        beta = A.dot(B[:, Observe[t + 1]] * beta)
        print "t=", t + 1, "   beta_", t + 1, "(i):", beta

    print "(3)终止。alpha_", 1, "(i):    ", beta
    prob = pi.dot(beta * B[:, Observe[0]])
    print "输出Prob:  ", prob
    return prob


if __name__ == '__main__':


    A = np.array([[0.5, 0.2, 0.3],
                  [0.3, 0.5, 0.2],
                  [0.2, 0.3, 0.5]])

    B = np.array([[0.5, 0.5],
                  [0.4, 0.6],
                  [0.7, 0.3]])

    pi = np.array([0.2, 0.4, 0.4])

    model = (A, B, pi)

    Observe = np.array([0, 1, 0])

    States = np.array([1, 2, 3])

    forward_prob(model,Observe,States)

    backward_prob(model, Observe, States)

实验结果：