贝叶斯理论在机器学习的应用-优快云博客

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贝叶斯理论是一套可以用来解释机器学习方法的理论。在介绍贝叶斯理论之前，我先介绍一些相关的背景知识。

这里我们主要聚焦于有监督学习。给定N个样本的数据集，其中第 $i$ 个样本表示为 $(\mathbf{x}_i, y_i)$ 。这里 $\mathbf{x}_i$ 表示第 $i$ 个样本的特征， $y_i$ 表示第 $i$ 个样本的标签。

举房价预测的例子，我们要根据房屋的面积以及房间的数量来预测房屋的价格。这里 $\mathbf{x}_i$ 就是房屋的面积和房间的数量两个特征， $y_i$ 就是房屋的价格。
house_price

有了这批数据之后，我们可以建立如下传统模型：

y i^= f (x i; θ)

$\hat{y_i} = f(\mathbf{x}_i; \boldsymbol{\theta})$ 给定模型的参数

θ $\boldsymbol{\theta}$ ，对于某个特征值

xi $\mathbf{x}_i$ ，模型的预测结果为

yi^ $\hat{y_i}$ （读作

yi $y_i$ hat）。我们在

yi $y_i$ 的头上加帽帽是为了区分真实标签

yi $y_i$ 和预测结果

yi^ $\hat{y_i}$ 。比如上面的房屋价格预测，我们可以建立如下模型，

y^i=θ1xi1+θ2xi2 $\hat{y}_i=\theta_1x_{i1}+\theta_2x_{i2}$ 。

xi1 $x_{i1}$ 表示第

i $i$ 个样本的第一个特征的取值，例如

x11 $x_{11}$ ，也就是第一个样本的第一个特征的取值，为2104。这里

(θ1,θ2)=θ $(\theta_1, \theta_2) = \boldsymbol{\theta}$ 即为模型的参数。

当然，模型的预测结果 $\hat{y_i}$ 和真实标签 $y_i$ 之间会存在某种程度的误差 $\text{loss}(y_i, \hat{y_i}; \boldsymbol{\theta})$ 。这里我们定义模型在整个数据集上的误差 $\text{loss}(\boldsymbol{\theta})$ 为数据集中每个样本的误差的求和平均:

loss (θ) = 1 N \sum i = 1 N loss (y i, y i^; θ)

$\text{loss}(\boldsymbol{\theta}) = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^N \text{loss}(y_i, \hat{y_i}; \boldsymbol{\theta})$ 我们的目标是，使用数据集训练模型的参数

θ^ $\hat{\boldsymbol{\theta}}$ ，使得模型在整个数据集上的误差尽可能的小:

θ^= arg max θ loss (θ)

$\hat{\boldsymbol{\theta}} = \arg \max_{\boldsymbol{\theta}} \text{loss}(\boldsymbol{\theta})$ 模型训练可以使用传统的梯度法、牛顿法、BFGS等，也可以使用潮流的梯度下降法以及相关的改进版本。

但是，一味地迎合现有数据集中的数据，可能会导致模型对没有见过的数据的预测效果十分地糟糕，即会出现严重的过拟合问题。过拟合问题在函数曲线上表现为剧烈地振荡，因为模型要完美地拟合某些数据点。在函数参数上表现为某些参数的取值十分巨大。

这里写图片描述

因此，为了在一定程度上缓解过拟合问题，我们可以对模型参数的取值做正则化限制 $\text{reg}(\boldsymbol{\theta})$ 。我们把正则化项加入到损失函数中，就可以得到正则化的损失函数（通过ppt动画效果添加到原有的loss函数的后面）。

reg-loss (θ) = loss (θ) + reg (θ)

$\text{reg-loss}(\boldsymbol{\theta}) = \text{loss}(\boldsymbol{\theta}) + \text{reg}(\boldsymbol{\theta})$ 对于新的损失函数

reg-loss(θ) $\text{reg-loss}(\boldsymbol{\theta})$ ，我们同样可以使用极小化损失函数的方法来进行参数的求解。

模型训练好之后，对于一个新来的特征值 $\mathbf{x}_i$ ，我们可以给出预测结果为

y i^= f (x i; θ^)

$\hat{y_i} = f(\mathbf{x}_i; \hat{\boldsymbol{\theta}})$

这一小节讲的内容总结如下：
这里写图片描述

——————

我们来重新审视这个传统模型。对于一个特征值 $\mathbf{x}_i$ ，传统模型的预测结果为 $\hat{y_i}$ ，而对于其它预测结果 $y_i^*$ 的靠谱程度，如果真实标签 $y_i$ 存在的话，我们可以使用 $\text{loss}(y_i,y_i^*; \boldsymbol{\theta})$ 来衡量，其值越大，预测值 $y_i^*$ 越不靠谱；如果真实标签 $y_i$ 不存在的话，我们也就无可奈何了。

但是，对于其他预测结果 $y_i^*$ 靠谱程度的衡量，我们有一件更厉害的工具 —— 概率。我们考虑这样一个模型，对于一个特征值 $\mathbf{x}_i$ ，我们可以输出每一个可能的预测结果 $y_i^*$ 以及它们的概率。概率越小，相当于损失函数的取值越大。概率越大，相当于损失函数的取值越小。也就是说，对于每个特征值，我们输出的是一个关于 $y_i^*$ 的概率分布 $p(y_i^*|\mathbf{x}_i; \boldsymbol{\theta})$ 。概率越大，我们认为某个预测结果越靠谱。我们把这个模型称为贝叶斯模型；

在模型训练的时候，我们假设数据集中的样本点是独立同分布的，那么整个数据集 $\mathcal{D}$ 的概率就等于每个样本点发生概率的乘积，我们把其称为数据集的似然函数(likelihood)：

likelihood (θ) = p (D | θ) = \prod i = 1 N p (y i | x i; θ)

$\text{likelihood}(\boldsymbol{\theta}) = p(\mathcal{D}|\boldsymbol{\theta}) = \prod_{i=1}^N p(y_i|\mathbf{x}_i; \boldsymbol{\theta})$ 我们的目标是让数据集发生的概率尽可能的大。因为存在即合理，既然样本点能够出现在数据集中，说明这个样本点发生的概率不可能很小。这里，为了和上面的表述一致，我们对似然函数取负号。最大化似然函数变成了最小化负似然函数：

θ^= arg min θ - likelihood (θ)

$\hat{\boldsymbol{\theta}} = \arg \min_{\boldsymbol{\theta}} \; - \text{likelihood}(\boldsymbol{\theta})$ 当前，贝叶斯模型也有一套解决过拟合问题的方法。我们可以给参数

θ $\boldsymbol{\theta}$ 假设一个概率分布

p(θ) $p(\boldsymbol{\theta})$ ，并称其为关于参数的先验分布。对于那些取值比较小的

θ $\boldsymbol{\theta}$ ，我们让它的概率大一点；对于那些取值比较大的

θ $\boldsymbol{\theta}$ ，我们让它的概率小一点；从而起到惩罚取值较大的参数的效果。我们把参数的先验分布

p(θ) $p(\boldsymbol{\theta})$ 加入到似然分布后面，套用经典的贝叶斯公式，同时省略掉分母的归一化项，得到的一个新的分布

p(θ|D) $p(\boldsymbol{\theta} | \mathcal{D})$ 。我们把这个分布称为关于参数的后验分布。因为它是在参数先验分布

p(θ) $p(\boldsymbol{\theta})$ 的基础上，在获取了关于数据集

D $\mathcal{D}$ 的信息后，对参数做出的后验判断。

同样，我们也可以使用最大化后验估计的方法来对模型的参数进行求解：

θ^= arg min θ - p (θ | D)

$\hat{\boldsymbol{\theta}} = \arg \min_\boldsymbol{\theta} -p(\boldsymbol{\theta}|\mathcal{D})$

模型训练好之后，对于一个新的特征值 $\mathbf{x}_i$ ，模型将把概率最大的预测值作为输出结果。即

y i^= arg max y * i p (y * i | x i; θ^)

$\hat{y_i} = \arg \max_{y_i^*} \; p(y_i^* | \mathbf{x}_i;\hat{\boldsymbol{\theta}})$

这里值得关注的是，我们只使用了参数点 $\hat{\boldsymbol{\theta}}$ 来做新特征值的预测，这种预测方法称为点估计方法。我们考虑的一个问题是，虽然 $\hat{\boldsymbol{\theta}}$ 是最好的，但是在模型预测的时候，我们可不可以让不那么好的参数也能够参与到决策中来呢？正所谓“三个臭皮匠，赛过诸葛亮”。这种预测方法称为贝叶斯估计法。我们给出的方案是，用参数的后验概率值 $p(\boldsymbol{\theta}|\mathcal{D})$ 来作为其参与决策的效力:

p (y * i | x i; D) = \int p (y * i | x i; θ) p (θ | D) d θ

$p(y_i^*|\mathbf{x}_i;\mathcal{D}) = \int p(y_i^*|\mathbf{x}_i; \boldsymbol{\theta}) p(\boldsymbol{\theta}|\mathcal{D}) d\boldsymbol{\theta}$ 这里我们使用一个积分的符号来遍历所有的参数，使得每一个参数都能以其靠谱程度

p(θ|D) $p(\boldsymbol{\theta}|\mathcal{D})$ 作为权重来参与新特征值

xi $\mathbf{x}_i$ 的预测；

这一小节讲的内容总结如下：

这里写图片描述

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我们把上面这种直接对 $p(y_i^*|\mathbf{x}_i; \boldsymbol{\theta})$ 进行概率分布建模的方法称为贝叶斯的判别模型。这种模型很符合我们的直观思维，由特征值得到预测结果，从原因中得到结果。另外一种模型，它是利用贝叶斯公式

p (y * i | x i; θ) \propto p (x i | y * i; ϕ) * p (y * i; ψ)

$p(y_i^*|\mathbf{x}_i; \boldsymbol{\theta}) \propto p(\mathbf{x}_i|y_i^*; \boldsymbol{\phi}) * p(y_i^*; \boldsymbol{\psi})$ 通过对

p(xi|y∗i;ϕ) $p(\mathbf{x}_i|y_i^*; \boldsymbol{\phi})$ 和

p(y∗i;ψ) $p(y_i^*; \boldsymbol{\psi})$ 进行概率分布的建模，从而间接得到

p(y∗i|xi;θ) $p(y_i^*|\mathbf{x}_i; \boldsymbol{\theta})$ ，我们把这个模型称为贝叶斯的生成模型；

这是什么意思呢？比如说你拍了一张照片，然后问里面的那只动物是猫还是熊猫。如果我直接根据图片中动物的特征进行判断的话，那就是判别模型的思维；如果我先思考一下，如果是猫的话，应该具有哪些特征 $p(\mathbf{x}_i|y_i^*=\text{猫})$ ，然后猫在生活中常不常见 $p(y_i^*=\text{猫})$ ；如果是熊猫的话，应该具有哪些特征 $p(\mathbf{x}_i|y_i^*=\text{熊猫})$ ，然后熊猫在生活中常不常见 $p(y_i^*=\text{熊猫})$ ；经过这一番仔细的思考之后，我再做出这只动物是猫还是熊猫的判断，这就是生成模型的思维。这是一个由果索因，再由因执果的过程。

为什么这个模型被称为生成模型呢？因为在计算 $p(y_i^*|\mathbf{x}_i; \boldsymbol{\theta})$ 的过程中，我们先建立了 $p(\mathbf{x}_i|y_i^*; \boldsymbol{\phi})$ 的概率分布模型。 $p(\mathbf{x}_i|y_i^*; \boldsymbol{\phi})$ 是什么意思呢？给定标签 $y_i^*$ ，我们能够生成对应的特征 $\mathbf{x}_i$ 。这时候就已经不是你给我一张照片，然后让我判断是猫还是熊猫那么简单了。而是说，我想看一张熊猫的照片，然后你就能够给我生成一张熊猫的照片，That is amazing。