前言
偶然看到的一个问题,如图1,为什么正好经过这个空隙?我们用空间解析几何来解一下吧。

解答
如图2,建立空间直角坐标系 x y z xyz xyz,原点记为 O O O , P P P 点为水平杆与斜杆的交点, Q Q Q 点为垂直杆与水平杆的交点, 将斜杆标记为 L L L 。

设 O Q = q OQ=q OQ=q , Q P = r QP=r QP=r 。 Q Q Q 点坐标为 ( 0 , 0 , q ) (0, 0, q) (0,0,q) 。
设水平杆 Q P QP QP 绕 z z z 轴以 ω r a d / s \omega\, rad/s ωrad/s 的角速度旋转,并设从开始旋转到现在的时长为 t t t 秒, 则 P P P 点坐标为 ( r cos ω t , r sin ω t , q ) (r\cos{\omega t}, r\sin{\omega t}, q) (rcosωt,rsinωt,q) 。
由 Q Q Q、 P P P 两点坐标得:
O Q → = ( 0 , 0 , q ) Q P → = ( r cos ω t , r sin ω t , 0 ) (1) \overrightarrow{OQ}=(0, 0, q) \qquad \overrightarrow{QP}=(r\cos{\omega t}, r\sin{\omega t}, 0) \tag{1} OQ=(0,0,q)QP=(rcosωt,rsinωt,0)(1)
设
L
L
L 的方向向量
S
→
=
(
a
,
b
,
c
)
\overrightarrow{S}=(a, b, c)
S=(a,b,c),由
L
L
L 的方向向量
S
→
\overrightarrow{S}
S 和
P
P
P 点得,得斜杆
L
L
L 代表的直线方程:
x
−
r
cos
ω
t
a
=
y
−
r
sin
ω
t
b
=
z
−
q
c
(2)
\frac{x-r\cos{\omega t}}{a}=\frac{y-r\sin{\omega t}}{b}=\frac{z-q}{c} \tag{2}
ax−rcosωt=by−rsinωt=cz−q(2)
我们知道
Q
P
→
\overrightarrow{QP}
QP 与斜杆
L
L
L 垂直,假设
O
Q
→
\overrightarrow{OQ}
OQ 与斜杆
L
L
L 成固定角
θ
\theta
θ ,得:
{
0
=
Q
P
→
⋅
S
→
cos
θ
=
O
Q
→
⋅
S
→
∣
O
Q
→
∣
∣
S
→
∣
(3)
\begin{cases} 0=\overrightarrow{QP} \cdot \overrightarrow{S} \\ \cos{\theta}=\frac{\overrightarrow{OQ} \cdot \overrightarrow{S}}{\left|\overrightarrow{OQ}\right| \left| \overrightarrow{S}\right|} \end{cases} \tag{3}
⎩⎪⎨⎪⎧0=QP⋅Scosθ=∣∣∣OQ∣∣∣∣∣∣S∣∣∣OQ⋅S(3)
把
Q
P
→
\overrightarrow{QP}
QP,
S
→
\overrightarrow{S}
S,
O
Q
→
\overrightarrow{OQ}
OQ 代入 式(3),得
{
a
b
=
−
sin
ω
t
cos
ω
t
c
2
(
tan
θ
)
2
=
a
2
+
b
2
(4)
\begin{cases} \frac{a}{b}=\frac{-\sin{\omega t}}{\cos{\omega t}} \\ c^{2}(\tan{\theta})^{2}=a^{2}+b^{2} \end{cases} \tag{4}
{ba=cosωt−sinωtc2(tanθ)2=a2+b2(4)
式(4)中第2条等式两边除以
b
2
b^2
b2 ,再化简得:
c
2
b
2
=
1
(
tan
θ
)
2
(
cos
ω
t
)
2
(5)
\frac{c^{2}}{b^{2}}=\frac{1}{(\tan{\theta})^{2}(\cos{\omega t})^{2}} \tag{5}
b2c2=(tanθ)2(cosωt)21(5)
求直线组
L
L
L 与
x
o
z
xoz
xoz 平面相交的图形,即回答这个缝隙的形状为什么是图1 中这样的曲线。我们令
y
=
0
y=0
y=0 ,代入直线公式(2) 得:
x
−
r
cos
ω
t
a
=
−
r
sin
ω
t
b
=
z
−
q
c
(6)
\frac{x-r\cos{\omega t}}{a}=\frac{-r\sin{\omega t}}{b} =\frac{z-q}{c} \tag{6}
ax−rcosωt=b−rsinωt=cz−q(6)
由式(4)(5)(6)得到方程组(7)。
{
a
b
=
−
sin
ω
t
cos
ω
t
x
−
r
cos
ω
t
a
=
−
r
sin
ω
t
b
c
2
b
2
=
1
(
tan
θ
)
2
(
cos
ω
t
)
2
−
r
sin
ω
t
b
=
z
−
q
c
(7)
\begin{cases} \frac{a}{b}=\frac{-\sin{\omega t}}{\cos{\omega t}}\\ \frac{x-r\cos{\omega t}}{a}=\frac{-r\sin{\omega t}}{b} \\ \frac{c^2}{b^2}=\frac{1}{(\tan{\theta})^{2}(\cos{\omega t})^{2}}\\ \frac{-r\sin{\omega t}}{b} =\frac{z-q}{c} \end{cases} \tag{7}
⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧ba=cosωt−sinωtax−rcosωt=b−rsinωtb2c2=(tanθ)2(cosωt)21b−rsinωt=cz−q(7)
由式(7)中上面两个等式,消去a,b得:
−
sin
ω
t
cos
ω
t
=
x
−
r
cos
ω
t
−
r
sin
ω
t
=
a
b
(8)
\frac{-\sin{\omega t}}{\cos{\omega t}}=\frac{x-r\cos{\omega t}}{-r\sin{\omega t}}=\frac{a}{b} \tag{8}
cosωt−sinωt=−rsinωtx−rcosωt=ba(8)
x
cos
ω
t
=
r
(9)
x \cos{\omega t}=r \tag{9}
xcosωt=r(9)
由式(7)中下面两个等式,消去b,c得:
1
(
tan
θ
)
2
(
cos
ω
t
)
2
=
(
z
−
q
)
2
(
−
r
sin
ω
t
)
2
=
c
2
b
2
(10)
\frac{1}{(\tan{\theta})^2(\cos{\omega t})^2} = \frac{(z-q)^2}{(-r\sin{\omega t})^2} =\frac{c^2}{b^2} \tag{10}
(tanθ)2(cosωt)21=(−rsinωt)2(z−q)2=b2c2(10)
( − r sin ω t ) 2 ( tan θ ) 2 ( cos ω t ) 2 = ( z − q ) 2 (11) \frac{(-r\sin{\omega t})^2}{(\tan{\theta})^2(\cos{\omega t})^2} = {(z-q)}^2 \tag{11} (tanθ)2(cosωt)2(−rsinωt)2=(z−q)2(11)
由利用式(9),可消去式(11)中的
(
sin
ω
t
)
2
(\sin{\omega t})^{2}
(sinωt)2 和
(
cos
ω
t
)
2
(\cos{\omega t})^{2}
(cosωt)2 得:
x
2
−
(
tan
θ
)
2
(
z
−
q
)
2
=
r
2
(12)
x^{2}-(\tan{\theta})^{2}(z-q)^{2}=r^{2} \tag{12}
x2−(tanθ)2(z−q)2=r2(12)
易知,为双曲线方程,所以在 xoz 平面相交得图形为双曲线。
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