9、曲面几何与曲率计算：MATLAB 实现与应用

曲面几何与曲率计算：MATLAB 实现与应用

1. 曲面等距与高斯曲率定理

在三维空间中，如果存在一个由旋转和平移组成的全等变换，能将曲面 $\Sigma_1$ 变换到曲面 $\Sigma_2$，那么这两个曲面在某种程度上具有相似性。当两个曲面之间存在满足特定性质的一一对应关系时，这种对应就类似于两条曲线在速度匹配下的对应，我们称这样的对应为等距。等距且具有相同形状算子的曲面是全等的，这表明形状算子包含了足够的信息来刻画曲面的形状。

高斯针对曲面之间不一定由全等变换实现的等距情况给出了重要结论：
定理 6.8（高斯）：设 $\Sigma_1$ 和 $\Sigma_2$ 为两个曲面，若 $F$ 是从 $\Sigma_1$ 到 $\Sigma_2$ 的光滑映射且为（局部）等距映射，即保持切平面上的距离，那么 $F$ 保持高斯曲率。也就是说，对于 $\Sigma_1$ 上的每一个点 $P_1$，都有 $K_{\Sigma_1}(P_1) = K_{\Sigma_2}(F(P_1))$。不过，$F$ 不一定保持平均曲率。

2. 使用 MATLAB 进行曲率计算

手动计算曲面的主曲率是一件非常繁琐的事情，但借助 MATLAB 可以轻松实现自动化计算。以下是实现计算所需的 MATLAB 函数定义：

>> realdot = @(v, w) v*transpose(w);
>> veclength = @(vec) sqrt(realdot(vec, vec));
>> normalvector = @(surf,u,v) simplify(cross(d