24、在线随机加权匹配算法解析

在线随机加权匹配算法解析

1. 问题背景

在广告投放场景中，存在多个广告商，每个广告商有其符合条件的展示集和最多需求的展示次数。发布者需要在线分配一系列展示，每个展示对不同广告商有不同价值，目标是将每个展示分配给一个广告商，以最大化所有分配展示的价值。

2. 在线随机加权匹配问题定义

• 图模型 ：给定一个边加权二分图 (G = (A, I, E))，其中 (A) 是广告商集合，(I) 是展示类型集合，每条边 (e \in E(G)) 有边权重 (\omega(e))。设 (k = |A|)，(m = |I|)，对于每个展示类型 (i \in I)，有期望看到的展示次数 (e_i)，(n = \sum_{i \in I} e_i)。用 (D) 表示 (I) 上的分布，(\Pr[i] = p_i = e_i / n)。
• 问题实例 ：给定图 (G) 和分布 (D) 的离线访问权限。在线时，(n) 个独立同分布（i.i.d.）的展示 (i \sim D) 到达，必须立即将展示 (i) 分配给某个广告商 (a)（((a, i) \in E)），或不分配。每个广告商 (a \in A) 最多只能被分配一次。目标是将到达的展示分配给广告商，最大化分配展示的总权重。

3. 算法性能衡量

设 (D(i)) 是算法运行期间到达的展示类型 (i) 的集合，场景 (\hat{I} = \cup_{i \in I} D(i)) 是展示集合，(\hat{G}(\hat{I})) 是“实现”图。对于在线匹配问题的实例 ((G, D, n)