1、数据聚类：理论、算法与应用

数据聚类：理论、算法与应用

1. 定义

聚类分析（Cluster Analysis）是一种将一组对象划分为若干个簇（clusters）的方法，使得同一簇内的对象彼此非常相似，而不同簇之间的对象则差异较大。聚类分析也被称为簇分析、分割分析、分类分析或无监督分类。聚类分析的核心目标是揭示数据的内在结构，从而帮助我们更好地理解和解释数据。

2. 词汇

2.1 记录和属性

在聚类分析中，数据集通常由多个记录（records）组成，每个记录包含多个属性（attributes）。例如，一个客户数据集可能包含客户的年龄、性别、收入等多个属性。这些属性可以是数值型、分类型或二进制型等。

2.2 距离和相似性

衡量数据点之间的相似性和差异性是聚类分析的关键步骤之一。常用的相似性度量方法包括欧几里得距离、曼哈顿距离、余弦相似度等。例如，欧几里得距离公式如下：

[
d(x, y)= \left( \sum_{j=1}^{d} (x_j - y_j)^2 \right)^{\frac{1}{2}}
]

2.3 簇、中心和模式

在聚类分析中，簇（clusters）是指一组相似的对象。簇的中心（center）通常是簇中所有对象的平均值或中位数。模式（mode）则是指簇中最频繁出现的对象。例如，对于数值型数据，Lorr（1983）提出存在两种类型的簇：紧凑簇和链式簇。紧凑簇可以通过一个代表点或中心来表示，而链式簇中的任意两个数据点可以通过一条路径连接。

2.4 硬聚类和模糊聚类

硬聚类（Hard Clusteri