LeetCode-Py 项目解析：二叉树基础概念详解

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1. 树结构基础概念

树（Tree）是一种非常重要的非线性数据结构，它由 n（n ≥ 0）个有限节点组成一个具有层次关系的集合。在计算机科学中，树结构被广泛应用于各种场景，如文件系统、数据库索引、网络路由等。

1.1 树的定义与特点

树结构具有以下核心特征：

• 每个树有且仅有一个根节点（Root），它是唯一没有前驱的节点
• 除根节点外，每个节点有且仅有一个直接前驱（父节点）
• 每个节点可以有零个或多个直接后继（子节点）
• 树中没有环路（即不存在从某个节点出发沿着子节点指针又回到自身的路径）

1.2 树的基本术语

理解树结构需要掌握以下专业术语：

节点相关术语：

• 度（Degree）：一个节点拥有的子树数量
• 叶子节点（Leaf）：度为0的节点，即没有子节点的节点
• 分支节点（Branch）：度不为0的节点
• 树的度：树中所有节点度的最大值

层次相关术语：

• 层次（Level）：根节点为第1层，其子节点为第2层，依此类推
• 深度（Depth）：从根节点到该节点的最长路径上的边数
• 高度（Height）：从该节点到叶子节点的最长路径上的边数
• 树的高度：根节点的高度

关系相关术语：

• 父节点（Parent）：直接上级节点
• 子节点（Child）：直接下级节点
• 兄弟节点（Sibling）：具有相同父节点的节点
• 祖先节点（Ancestor）：从根到该节点路径上的所有节点
• 后代节点（Descendant）：该节点子树中的所有节点

2. 二叉树详解

2.1 二叉树的基本概念

二叉树（Binary Tree）是树结构中最基础也最重要的类型，它具有以下特点：

• 每个节点最多有两个子节点，分别称为左子节点和右子节点
• 子节点有明确的左右顺序之分，不能随意交换
• 即使某节点只有一个子节点，也要明确它是左子节点还是右子节点

二叉树有五种基本形态：

1. 空树
2. 只有根节点
3. 根节点+左子树
4. 根节点+右子树
5. 根节点+左右子树

2.2 特殊类型的二叉树

2.2.1 满二叉树

满二叉树（Full Binary Tree）是指：

• 所有非叶子节点都有两个子节点
• 所有叶子节点都在同一层
• 深度为k的满二叉树有2^k-1个节点

满二叉树的一个重要性质是：对于编号为i的节点：

• 左子节点编号为2i
• 右子节点编号为2i+1
• 父节点编号为⌊i/2⌋

2.2.2 完全二叉树

完全二叉树（Complete Binary Tree）是指：

• 除了最后一层外，其他各层节点数都达到最大值
• 最后一层的节点都连续集中在最左边
• 深度为k的完全二叉树至少有2^(k-1)个节点，最多有2^k-1个节点

完全二叉树常用于实现堆结构，其特点是可以用数组高效存储，且不会浪费空间。

2.2.3 二叉搜索树

二叉搜索树（Binary Search Tree，BST）是一种特殊的二叉树，满足：

• 左子树所有节点的值都小于根节点的值
• 右子树所有节点的值都大于根节点的值
• 左右子树也都是二叉搜索树

BST的优势在于查找、插入和删除操作的平均时间复杂度都是O(log n)。

2.2.4 平衡二叉搜索树

平衡二叉搜索树（Balanced BST）是BST的改进版本，要求：

• 任意节点的左右子树高度差不超过1
• AVL树是最早的自平衡二叉搜索树
• 平衡树保证了操作的最坏时间复杂度也是O(log n)

2.3 二叉树的存储方式

2.3.1 顺序存储结构

顺序存储使用数组来存储二叉树节点，按照层次遍历的顺序存放：

• 对于完全二叉树非常高效
• 非完全二叉树会浪费空间（需要存储空节点）
• 节点i的左子节点在2i+1，右子节点在2i+2
• 父节点在⌊(i-1)/2⌋

2.3.2 链式存储结构

链式存储使用节点对象和指针来构建二叉树：

class TreeNode:
    def __init__(self, val=0, left=None, right=None):
        self.val = val    # 节点值
        self.left = left  # 左子节点
        self.right = right # 右子节点

链式存储的优点：

• 灵活，不浪费空间
• 插入删除操作方便
• 适用于各种形态的二叉树

3. 二叉树的应用

二叉树在算法和数据结构中应用广泛：

• 二叉搜索树用于高效查找
• 堆（完全二叉树）用于优先队列
• 哈夫曼树用于数据压缩
• 表达式树用于编译器设计
• 决策树用于机器学习

理解二叉树的基本概念和特性，是学习更复杂树结构（如B树、红黑树等）的基础，也是解决许多算法问题的关键。

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