状态压缩动态规划（State DP）在LeetCode-Py项目中的应用详解-优快云博客

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状态压缩动态规划（State DP）在LeetCode-Py项目中的应用详解

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概述

状态压缩动态规划（State DP）是一种针对小规模数据问题的优化动态规划方法，它通过二进制数的特性来高效表示和操作状态集合。本文将深入探讨状态压缩DP的核心概念、实现技巧以及在LeetCode-Py项目中的典型应用。

状态压缩DP基础

二进制表示集合

状态压缩DP的核心思想是使用二进制数的每一位来表示集合中元素的选取状态：

1表示选取该元素
0表示不选取该元素

对于一个长度为n的集合，可以用一个n位二进制数表示其所有子集（共2ⁿ种可能）。

示例：集合S = {5,4,3,2,1}（n=5）：

11111表示选取全部元素
10101表示选取第1、3、5个元素
01001表示选取第1、4个元素

状态转移方式

状态压缩DP主要有两种状态转移方式：

枚举子集：从当前状态出发，枚举所有可能的子集进行转移
枚举超集：从当前状态出发，枚举所有可能的超集进行转移

其中枚举子集的方式更为常用。

适用条件

状态压缩DP适用于：

问题规模较小（通常n ≤ 20）
需要表示集合的选取状态
状态转移与集合操作相关

当n过大时，状态数量呈指数级增长（2ⁿ），可能导致算法超时。

常用位运算操作

在状态压缩DP中，我们需要熟练掌握以下位运算操作：

| 操作描述 | 位运算表达式 | |---------|------------| | 总状态数量 | 1 << n | | 添加第i个元素 | A | (1 << i) | | 删除第i个元素 | A & ~(1 << i) | | 检查第i个元素 | A & (1 << i) 或 (A >> i) & 1 | | 清空集合 | A = 0 | | 全选集合 | A = (1 << n) - 1 | | 集合补集 | A ^ ((1 << n) - 1) | | 集合并集 | A | B | | 集合交集 | A & B |

枚举子集技巧：

subA = A
while subA > 0:
    # 处理子集subA
    subA = (subA - 1) & A

典型应用解析

应用1：两个数组最小的异或值之和

问题描述：给定两个长度相同的整数数组nums1和nums2，可以重新排列nums2，求使两数组对应元素异或值之和最小的排列方式。

状态压缩DP解法：

状态定义：
- dp[state]表示nums2选取状态为state时的最小异或和
- state的二进制位表示nums2中元素的选取情况

状态转移：

for state in range(1 << n):
    cnt = bin(state).count('1')
    for i in range(n):
        if (state >> i) & 1:
            dp[state] = min(dp[state], 
                           dp[state ^ (1 << i)] + (nums1[cnt-1] ^ nums2[i]))

复杂度分析：
- 时间复杂度：O(2ⁿ × n)
- 空间复杂度：O(2ⁿ)

应用2：数组的最大与和

问题描述：将数组nums分配到numSlots个篮子中，每个篮子最多放2个数字，求数字与篮子编号按位与结果之和的最大值。

状态压缩DP解法：

问题转化：
- 将每个篮子视为两个槽位，共2×numSlots个槽位
- 每个槽位最多放1个数字
状态定义：
- dp[state]表示槽位选取状态为state时的最大与和
- state的二进制位表示各槽位的使用情况

状态转移：

for state in range(1 << (2*numSlots)):
    cnt = bin(state).count('1')
    if cnt > len(nums): continue
    for i in range(2*numSlots):
        if (state >> i) & 1:
            dp[state] = max(dp[state],
                           dp[state ^ (1 << i)] + ((i//2+1) & nums[cnt-1]))