动态规划经典问题：0-1背包问题详解-优快云博客

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动态规划经典问题：0-1背包问题详解

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1. 背包问题概述

背包问题是动态规划领域中一类非常经典的问题，它描述的是在有限的资源约束下如何做出最优选择的问题。这类问题在实际应用中非常广泛，比如资源分配、投资组合、装载问题等都可以抽象为背包问题。

1.1 背包问题的基本定义

给定一组物品，每种物品都有自己的重量和价值。在限定的总重量内，我们如何选择物品才能使总价值最大。根据物品的不同限制条件，背包问题可以分为以下几种类型：

0-1背包问题：每种物品只有一件，可以选择放或不放
完全背包问题：每种物品有无限件
多重背包问题：每种物品有有限件
分组背包问题：物品被分为若干组，每组只能选一件
混合背包问题：包含以上多种情况的组合

2. 0-1背包问题详解

2.1 问题描述

0-1背包问题是背包问题中最基础的形式，其特点是每种物品只有一件，要么选择放入背包，要么不放入。

形式化定义：

有n件物品和一个容量为W的背包
第i件物品的重量为weight[i]，价值为value[i]
每种物品只有一件，可以选择放入或不放入
目标是在不超过背包容量的前提下，使背包中物品的总价值最大

2.2 基本解法：二维动态规划

2.2.1 状态定义

我们定义一个二维数组dp，其中dp[i][w]表示考虑前i件物品，在背包容量为w时可以获得的最大价值。

2.2.2 状态转移方程

对于每件物品，我们有两种选择：

不放入背包：此时最大价值等于前i-1件物品在容量w时的最大价值
放入背包：此时最大价值等于前i-1件物品在容量w-weight[i]时的最大价值加上当前物品的价值

因此状态转移方程为：

dp[i][w] = max(dp[i-1][w], dp[i-1][w-weight[i]] + value[i])

2.2.3 边界条件

当背包容量为0时，dp[i][0] = 0
当没有物品可选时，dp[0][w] = 0

2.2.4 代码实现

def zeroOnePack(weight, value, W):
    n = len(weight)
    dp = [[0]*(W+1) for _ in range(n+1)]
    
    for i in range(1, n+1):
        for w in range(W+1):
            if w < weight[i-1]:
                dp[i][w] = dp[i-1][w]
            else:
                dp[i][w] = max(dp[i-1][w], dp[i-1][w-weight[i-1]] + value[i-1])
    
    return dp[n][W]

2.2.5 复杂度分析

时间复杂度：O(nW)，需要填充n×W的二维表格
空间复杂度：O(nW)，需要存储整个二维表格

2.3 空间优化：滚动数组

观察状态转移方程可以发现，dp[i][w]只依赖于dp[i-1][...]，因此可以使用一维数组来优化空间。

2.3.1 优化思路

将二维数组压缩为一维数组dp[w]，表示容量为w时的最大价值。为了保证在计算dp[w]时，dp[w-weight[i]]仍然是上一轮的值，需要逆序遍历背包容量。

2.3.2 优化后的代码

def zeroOnePackOpt(weight, value, W):
    n = len(weight)
    dp = [0]*(W+1)
    
    for i in range(n):
        for w in range(W, weight[i]-1, -1):
            dp[w] = max(dp[w], dp[w-weight[i]] + value[i])
    
    return dp[W]

2.3.3 复杂度分析

时间复杂度：O(nW)，与二维解法相同
空间复杂度：O(W)，只需存储一维数组

3. 0-1背包问题的应用

3.1 分割等和子集问题

问题描述：给定一个只包含正整数的数组，判断是否可以将数组分成两个子集，使得两个子集的元素和相等。

解题思路：

计算数组总和sum，如果sum为奇数，直接返回False
目标为找到一些元素，使其和等于sum/2
将问题转化为0-1背包问题：
- 背包容量为sum/2
- 物品重量和价值均为数组元素
- 判断是否能恰好装满背包

代码实现：

def canPartition(nums):
    total = sum(nums)
    if total % 2 != 0:
        return False
    
    target = total // 2
    dp = [False]*(target+1)
    dp[0] = True
    
    for num in nums:
        for i in range(target, num-1, -1):
            dp[i] = dp[i] or dp[i-num]
    
    return dp[target]