PyTorch深度学习中的隐变量能量模型(EBM)原理与实践

PyTorch深度学习中的隐变量能量模型(EBM)原理与实践

NYU-DLSP20 NYU Deep Learning Spring 2020 项目地址: https://gitcode.com/gh_mirrors/pyt/pytorch-Deep-Learning

能量基础模型概述

能量基础模型(Energy-Based Models, EBMs)是深度学习领域中一种强大的概率建模方法。与传统的判别式模型不同，EBMs通过定义一个能量函数来捕捉输入数据与输出变量之间的关系，特别适合处理一对多映射的问题场景。

椭圆数据集的能量建模

数据生成过程

我们从一个椭圆函数出发构建训练样本：

$$ \vect{y} = \begin{bmatrix} \rho_1(x)\cos(\theta) + \epsilon \ \rho_2(x)\sin(\theta) + \epsilon \end{bmatrix} $$

其中各变量分布为：

• $x \sim \mathcal{U}(0,1)$
• $\theta \sim \mathcal{U}(0,2\pi)$
• $\epsilon \sim \mathcal{N}[0, (\frac{1}{20})^2]$

映射函数$\rho$将$x$转换为： $$ \begin{bmatrix}\alpha x + \beta (1-x) \ \beta x + \alpha (1-x) \end{bmatrix}\exp(2x) $$

模型特性分析

从可视化结果可以看出，对于单个输入$x$，存在多个可能的输出$\vect{y}$，这正是一对多映射的典型特征。传统前馈神经网络难以处理这种关系，这正是引入隐变量能量模型的动机。

隐变量能量模型构建

简化案例设置

为简化分析，我们固定$x=0$，设$\alpha=1.5$，$\beta=2$，得到简化方程：

$$ \vect{y} = \begin{bmatrix} 2\cos(\theta) + \epsilon \ 1.5\sin(\theta) + \epsilon \end{bmatrix} $$

从中随机采样24个数据点$Y = [\vect{y}^{(1)},\ldots,\vect{y}^{(24)}]$，同时设置隐变量$z$在$[0,2\pi)$区间均匀分布。

能量函数定义

能量函数定义为输出与解码结果间的欧氏距离平方：

$$ E(\vect{y},z) = [y_1 - g_1(z)]^2 + [y_2 - g_2(z)]^2 $$

其中解码器函数$\vect{g}(z) = [w_1 \cos(z) \space w_2 \sin(z)]^{\top}$。

自由能概念与计算

自由能定义

零温度极限下的自由能定义为：

$$ F_{\infty} \equiv \min_{z} E(\vect{y}, z) $$

对应的隐变量为：

$$ \check{z} = \arg \min_{z} E(\vect{y}, z) $$

优化过程

通过优化算法(如共轭梯度、线搜索等)寻找使能量最小的隐变量$\check{z}$，此时解码结果$\tilde{\vect{y}}$最接近样本数据$\vect{y}^{(i)}$。

自由能密度估计

网格点分析

在网格空间中，自由能计算可视为寻找网格点到流形的最小距离。自由能函数$F_\infty$仅依赖于$\vect{y}$空间，输出非负标量值。

热力图表示

将自由能值可视化为热力图，可以直观展示数据点与流形的关系，箭头表示梯度方向，指向能量降低最快的方向。

关键问题解析

1. 能量平面标量特性：自由能$F_\infty$是能量函数在所有隐变量上的最小值，因此仅依赖于$\vect{y}$，输出标量值。

2. 流形函数选择：实际应用中，隐变量的表示可以通过多层神经网络实现，如机器翻译中处理一对多映射关系。

3. 去噪本质：当模型学习到真实流形后，通过最小化能量确实可以实现输入数据的去噪。

实践意义

隐变量能量模型为处理复杂数据关系提供了新思路，特别适用于：

• 存在一对多映射的场景
• 需要建模不确定性的任务
• 数据生成与重构问题

理解EBM的原理有助于开发者设计更灵活的深度学习架构，解决传统模型难以处理的复杂问题。

NYU-DLSP20 NYU Deep Learning Spring 2020 项目地址: https://gitcode.com/gh_mirrors/pyt/pytorch-Deep-Learning