理解mlxtend中的向量空间维度计算

理解mlxtend中的向量空间维度计算

mlxtend rasbt/mlxtend: 是一个用于 Python 数据科学与机器学习的库，提供了许多实用的工具和函数，以简化和加速数据科学的工作流程。适合对 Python 数据科学与机器学习有兴趣的人，特别是想快速实现一些常用机器学习算法和数据处理功能的人。 项目地址: https://gitcode.com/gh_mirrors/ml/mlxtend

向量空间维度概述

在机器学习和线性代数中，理解一组向量所张成的空间维度是非常重要的基础概念。mlxtend库提供了一个实用函数vectorspace_dimensionality，可以方便地计算一组向量所张成的空间维度。

什么是向量空间维度？

简单来说，向量空间维度指的是描述该空间所需的最少基向量的数量。例如：

• 一条直线是1维空间
• 一个平面是2维空间
• 我们生活的物理空间是3维空间

当给定一组向量时，它们可能线性相关或线性独立，这直接影响它们张成的空间维度。

mlxtend中的实现原理

mlxtend的vectorspace_dimensionality函数使用Gram-Schmidt正交化过程来计算向量空间的维度。该过程的核心思想是：

1. 将一组向量转换为正交向量组
2. 在转换过程中，线性相关的向量会被转换为零向量
3. 最终非零向量的数量就是原始向量组的维度

这种方法非常高效，因为它同时完成了正交化和维度计算两个任务。

实际应用示例

让我们通过几个具体例子来理解这个函数的使用和原理。

示例1：标准基向量

考虑二维空间中的标准基向量：

import numpy as np
from mlxtend.math import vectorspace_dimensionality

a = np.array([[1, 0],
              [0, 1]])
              
print(vectorspace_dimensionality(a))  # 输出: 2

这两个向量线性无关，因此它们张成整个二维平面。

示例2：线性相关向量

如果向量之间存在线性关系，维度会相应降低：

b = np.array([[1, 2],
              [0, 0]])
              
print(vectorspace_dimensionality(b))  # 输出: 1

这里第二个向量是第一个向量的2倍，所以实际上只张成了一条直线。

示例3：三维空间

对于三维向量：

d = np.array([[1, 9, 1],
              [3, 2, 2],
              [5, 4, 3]])
              
print(vectorspace_dimensionality(d))  # 输出: 3

如果其中有线性相关向量：

c = np.array([[1, 2, 1],
              [3, 6, 2],
              [5, 10, 3]])
              
print(vectorspace_dimensionality(c))  # 输出: 2

技术细节

函数签名如下：

vectorspace_dimensionality(ary)

参数：

• ary: 形状为[num_vectors, num_vectors]的数组，向量以列形式排列

返回值：

• 表示向量组所张成空间维度的整数

应用场景

理解向量空间维度在机器学习中有多种应用：

1. 特征选择：确定特征之间是否存在线性关系
2. 降维分析：在PCA等算法前评估数据固有维度
3. 模型诊断：检查权重矩阵的秩缺陷问题
4. 数据理解：了解数据集的实际自由度

总结

mlxtend的vectorspace_dimensionality函数提供了一种简单有效的方法来计算一组向量张成的空间维度。通过Gram-Schmidt正交化过程，它能够准确识别线性相关的向量，并返回空间的真实维度。这对于数据预处理、模型理解和算法实现都是非常有价值的工具。

理解这个概念有助于我们更好地把握数据的内在结构，为后续的机器学习建模打下坚实基础。

mlxtend rasbt/mlxtend: 是一个用于 Python 数据科学与机器学习的库，提供了许多实用的工具和函数，以简化和加速数据科学的工作流程。适合对 Python 数据科学与机器学习有兴趣的人，特别是想快速实现一些常用机器学习算法和数据处理功能的人。 项目地址: https://gitcode.com/gh_mirrors/ml/mlxtend