线性分类方法导论：从基础概念到判别边界

线性分类方法导论：从基础概念到判别边界

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引言

分类问题是机器学习中最核心的任务之一，其目标是根据输入特征将数据划分到预定义的类别中。在统计学习领域，线性分类方法因其简单性和可解释性而备受青睐。本文将系统介绍线性分类的基本概念、原理和实现方法，帮助读者建立完整的知识框架。

分类问题的本质

分类问题的核心在于划分决策区域。给定一个预测函数G(x)，我们可以根据其输出值将输入空间划分为若干个区域，每个区域对应一个特定的类别。这些区域之间的边界就是决策边界，它决定了分类器的行为。

决策边界的性质（如光滑程度、复杂度）直接影响分类器的性能。线性分类方法特别关注线性决策边界，即通过超平面来划分不同类别。

线性判别函数的基本原理

1. 基于回归的方法

对于K个类别的分类问题，我们可以为每个类别k建立一个线性模型：

f̂ₖ(x) = β̂ₖ₀ + β̂ₖᵀx

其中：

• β̂ₖ₀是截距项
• β̂ₖ是系数向量
• x是输入特征向量

两个类别k和l之间的决策边界就是满足f̂ₖ(x) = f̂ₗ(x)的点集，这定义了一个超平面：

{x : (β̂ₖ₀ - β̂ₗ₀) + (β̂ₖ - β̂ₗ)ᵀx = 0}

2. 判别函数方法

更一般地，我们可以为每个类别定义判别函数δₖ(x)，然后将样本x分类到判别函数值最大的类别。当判别函数是线性函数时，决策边界自然也是线性的。

后验概率与线性边界

分类问题也可以通过建模后验概率Pr(G=k|X=x)来解决。只要后验概率或其单调变换是线性的，决策边界就是线性的。

Logistic模型示例

对于二分类问题，常用的logistic模型为：

Pr(G=1|X=x) = exp(β₀ + βᵀx) / [1 + exp(β₀ + βᵀx)]
Pr(G=2|X=x) = 1 / [1 + exp(β₀ + βᵀx)]

对后验概率进行logit变换后：

log[Pr(G=1|X=x)/Pr(G=2|X=x)] = β₀ + βᵀx

决策边界对应于log-odds等于0的情况，即：

{x | β₀ + βᵀx = 0}

主要的线性分类方法

1. 线性判别分析(LDA)

• 假设每个类别的观测值服从多元正态分布
• 各类别共享相同的协方差矩阵
• 通过最大化类间方差与类内方差的比值来确定判别边界

2. Logistic回归

• 直接对条件概率Pr(G=k|X=x)建模
• 使用最大似然估计方法求解参数
• 输出具有概率解释

3. 感知器算法

• 显式寻找分离超平面
• 适用于线性可分的数据集
• 通过迭代方法更新权重

4. 支持向量机(SVM)

• 寻找最大间隔超平面
• 对线性不可分情况有很好的处理能力
• 具有优秀的泛化性能

从线性到非线性

虽然本章主要讨论线性决策边界，但通过特征变换可以扩展到非线性情况。例如：

1. 加入二次项：

   • 原始特征：X₁, X₂, ..., Xₚ
   • 扩展特征：X₁², X₂², ..., X₁X₂, ...
   • 这样可以在扩展空间中用线性边界，对应原始空间的二次边界

2. 一般基函数扩展：

   • 使用变换h: ℝᵖ → ℝᵠ (q > p)
   • 在更高维空间中寻找线性边界
   • 对应原始空间的复杂非线性边界

实际应用中的考虑

1. 模型选择：

   • 根据数据特性选择合适的方法
   • 线性模型通常更简单、更易解释
   • 非线性模型可能获得更高准确率但容易过拟合

2. 特征工程：

   • 适当的特征变换可以提升线性模型的性能
   • 标准化处理对某些方法(如SVM)很重要

3. 模型评估：

   • 使用交叉验证评估泛化性能
   • 关注分类准确率以外的指标(如AUC-ROC)

总结

线性分类方法为分类问题提供了强大而直观的解决方案。通过理解不同方法的原理和假设，我们可以根据具体问题选择最合适的算法。虽然线性方法看似简单，但通过适当扩展和变换，它们可以处理相当复杂的分类问题。后续章节将进一步探讨这些方法的数学细节和实际应用。

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