面试算法精要：最短路径算法详解

乔嫣忱

于 2025-06-08 09:20:45 发布

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面试算法精要：最短路径算法详解

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前言

在计算机科学领域，图论算法是解决网络相关问题的重要工具，其中最短路径算法更是广泛应用于路由选择、交通导航、社交网络分析等多个场景。本文将深入剖析两种经典的最短路径算法：Dijkstra算法和Floyd算法，帮助读者掌握其核心思想和实现原理。

Dijkstra算法：单源最短路径的贪心解法

算法概述

Dijkstra算法由荷兰计算机科学家Edsger W. Dijkstra于1956年提出，用于解决带权有向图的单源最短路径问题。该算法采用贪心策略，逐步扩展已知最短路径的顶点集合。

核心思想

初始化阶段：
- 创建两个顶点集合：S（已确定最短路径的顶点）和U（未确定最短路径的顶点）
- 初始时S只包含源点v，距离值为0；U包含其他所有顶点，距离初始化为源点到各顶点的直接距离
迭代过程：
- 每次从U中选出距离源点最近的顶点u
- 将u加入S集合
- 以u为中转点，更新U中顶点到源点的距离估计
终止条件：
- 当所有顶点都加入S集合时，算法结束

算法特点

仅适用于非负权图
时间复杂度取决于实现方式：
- 普通数组实现：O(V²)
- 优先队列实现：O(E + VlogV)
空间复杂度：O(V)

实际应用示例

假设我们要计算城市A到其他城市的最短路径：

首先确定A到直接相连城市的距离
选择最近的邻接城市B
通过B中转，看是否能缩短A到其他城市的距离
重复上述过程直到所有城市的最短路径确定

Floyd算法：全源最短路径的动态规划方案

算法概述

Floyd算法又称为Floyd-Warshall算法，由Robert Floyd和Stephen Warshall分别独立提出。该算法采用动态规划思想，能够计算图中所有顶点对之间的最短路径。

核心思想

状态定义：
- 设Dᵢⱼₖ表示从顶点i到j，且中间顶点只来自{1,2,...,k}的最短路径长度
状态转移方程：
- Dᵢⱼₖ = min(Dᵢⱼₖ₋₁, Dᵢₖₖ₋₁ + Dₖⱼₖ₋₁)
- 即考虑是否通过顶点k能缩短i到j的路径
初始化：
- Dᵢᵢ = 0（顶点到自身的距离）
- Dᵢⱼ = w(i,j)（直接相连边的权值）
- 不相连顶点间距离初始化为∞

算法特点

可以处理负权边（但不能有负权回路）
时间复杂度：O(V³)
空间复杂度：O(V²)
代码实现简洁，三重循环即可完成

算法伪代码解析

for k from 1 to |V|:
    for i from 1 to |V|:
        for j from 1 to |V|:
            if dist[i][j] > dist[i][k] + dist[k][j]:
                dist[i][j] = dist[i][k] + dist[k][j]

这个简洁的三重循环体现了动态规划的精髓，通过逐步考虑每个顶点作为中转点，不断优化所有顶点对之间的最短距离。

两种算法的比较

| 特性 | Dijkstra算法 | Floyd算法 | |------|-------------|-----------| | 解决问题 | 单源最短路径 | 全源最短路径 | | 适用图类型 | 非负权图 | 可处理负权边（无负权回路） | | 时间复杂度 | O(E + VlogV) | O(V³) | | 空间复杂度 | O(V) | O(V²) | | 算法思想 | 贪心算法 | 动态规划 | | 实现难度 | 中等 | 简单 |