POT项目入门：使用Python实现最优传输算法-优快云博客

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POT项目入门：使用Python实现最优传输算法

POT 项目地址: https://gitcode.com/gh_mirrors/pot1/POT

概述

最优传输(Optimal Transport, OT)是数学中的一个重要概念，它研究如何以最优方式将一个概率分布转换为另一个概率分布。POT(Python Optimal Transport)是一个专门用于最优传输计算的Python库，提供了丰富的算法实现和工具函数。

安装POT库

POT可以通过以下两种方式安装：

使用pip安装：

pip install pot

使用conda安装：

conda install -c conda-forge pot

最优传输问题实例：面包店与咖啡馆配送

让我们通过一个实际案例来理解最优传输的应用。假设在曼哈顿有多家面包店和咖啡馆，我们需要将面包店生产的牛角面包最优地配送到各个咖啡馆。

数据准备

首先加载数据，包括：

面包店位置(bakery_pos)和产量(bakery_prod)
咖啡馆位置(cafe_pos)和需求量(cafe_prod)
曼哈顿地图(Imap)

import numpy as np
import pylab as pl
import ot

data = np.load('../data/manhattan.npz')
bakery_pos = data['bakery_pos']
bakery_prod = data['bakery_prod']
cafe_pos = data['cafe_pos']
cafe_prod = data['cafe_prod']
Imap = data['Imap']

可视化分布

我们可以将面包店和咖啡馆的位置在地图上可视化：

pl.figure(1, (7, 6))
pl.imshow(Imap, interpolation='bilinear')
pl.scatter(bakery_pos[:, 0], bakery_pos[:, 1], s=bakery_prod, c='r', ec='k', label='Bakeries')
pl.scatter(cafe_pos[:, 0], cafe_pos[:, 1], s=cafe_prod, c='b', ec='k', label='Cafés')
pl.legend()
pl.title('Manhattan Bakeries and Cafés')

计算成本矩阵

成本矩阵表示从每个面包店到每个咖啡馆的运输成本，这里使用欧几里得距离的平方：

C = ot.dist(bakery_pos, cafe_pos)

使用EMD算法求解最优传输

EMD(Earth Mover's Distance)是求解最优传输问题的经典算法：

start = time.time()
ot_emd = ot.emd(bakery_prod, cafe_prod, C)
time_emd = time.time() - start

可视化传输矩阵

我们可以将传输矩阵可视化，线条粗细表示运输量大小：

pl.figure(3, (14, 7))
pl.subplot(121)
pl.imshow(Imap, interpolation='bilinear')
for i in range(len(bakery_pos)):
    for j in range(len(cafe_pos)):
        pl.plot([bakery_pos[i, 0], cafe_pos[j, 0]], 
                [bakery_pos[i, 1], cafe_pos[j, 1]],
                '-k', lw=3. * ot_emd[i, j] / ot_emd.max())

使用Sinkhorn算法求解正则化最优传输

Sinkhorn算法通过引入熵正则化项，使得问题可以更高效地求解：

reg = 0.1
ot_sinkhorn = ot.sinkhorn(bakery_prod, cafe_prod, reg=reg, M=C/C.max())

正则化参数的影响

正则化参数reg的大小会影响解的性质：

小reg值：解接近EMD解，但不稀疏
大reg值：解更均匀，运输量分布更广

reg_parameter = np.logspace(-3, 0, 20)
W_sinkhorn_reg = np.zeros((len(reg_parameter), ))
for k in range(len(reg_parameter)):
    ot_sinkhorn = ot.sinkhorn(bakery_prod, cafe_prod, reg=reg_parameter[k], M=C/C.max())
    W_sinkhorn_reg[k] = np.sum(ot_sinkhorn * C)