区间动态规划算法详解：从LeetCode-Py项目看经典问题解法-优快云博客

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区间动态规划算法详解：从LeetCode-Py项目看经典问题解法

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1. 区间动态规划概述

区间动态规划（Interval DP）是动态规划算法中一种重要的类型，它特别适合解决涉及区间操作的问题。这类问题通常需要我们在一个序列或区间上进行操作，通过分解子问题来求解整个区间的最优解。

1.1 基本概念

区间动态规划的核心思想是：将大区间的问题分解为小区间的问题，先解决小区间的问题，再通过合并小区间的解来解决大区间的问题。这种分治思想与动态规划的结合，使得我们能够高效地解决许多复杂问题。

1.2 两种典型模式

根据状态转移方式的不同，区间DP问题可以分为两种主要类型：

从中间向两侧扩展：适用于回文类问题，状态转移通常涉及区间的左右边界
多个小区间合并：适用于分割类问题，状态转移需要考虑区间的分割点

2. 区间DP的解题框架

2.1 第一种模式：中间向两侧扩展

这种模式常用于解决回文串相关问题，其状态转移方程一般形式为：

dp[i][j] = max(dp[i+1][j-1], dp[i+1][j], dp[i][j-1]) + cost[i][j]

实现代码框架：

for i in range(size-1, -1, -1):  # 逆序枚举起点
    for j in range(i+1, size):   # 顺序枚举终点
        # 状态转移计算
        dp[i][j] = ...

2.2 第二种模式：小区间合并

这种模式常用于分割类问题，其状态转移方程一般形式为：

dp[i][j] = min/max(dp[i][k] + dp[k+1][j] + cost[i][j]) for k in [i,j)

实现代码框架：

for l in range(1, n):          # 枚举区间长度
    for i in range(n):         # 枚举起点
        j = i + l              # 计算终点
        if j >= n: continue
        for k in range(i, j):  # 枚举分割点
            # 状态转移计算
            dp[i][j] = ...

3. 经典问题解析

3.1 最长回文子序列问题

问题描述：给定一个字符串，找出其中最长的回文子序列的长度。

解题思路：

定义dp[i][j]表示子串s[i...j]的最长回文子序列长度
状态转移：
- 如果s[i] == s[j]，则dp[i][j] = dp[i+1][j-1] + 2
- 否则，dp[i][j] = max(dp[i+1][j], dp[i][j-1])
初始化：单个字符的回文长度为1

关键点：