数位动态规划（Digit DP）详解与实战-优快云博客

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/gitblog_00895/article/details/148465513

数位动态规划（Digit DP）详解与实战

LeetCode-Py ⛽️「算法通关手册」：超详细的「算法与数据结构」基础讲解教程，从零基础开始学习算法知识，800+ 道「LeetCode 题目」详细解析，200 道「大厂面试热门题目」。项目地址: https://gitcode.com/gh_mirrors/le/LeetCode-Py

什么是数位动态规划

数位动态规划（Digit Dynamic Programming，简称数位 DP）是一种特殊的动态规划技术，专门用于解决与数字数位相关的计数问题。这类问题通常要求统计在给定区间内满足特定条件的数字个数，或者寻找满足特定条件的第 k 小数字。

数位 DP 的核心思想是将数字按位拆分，然后逐位确定数字的组成，同时利用动态规划的记忆化特性来避免重复计算。

数位 DP 的典型特征

大范围区间：题目给定的区间往往非常大（如 1 到 10^9），无法通过暴力枚举解决
数位相关条件：问题的限制条件通常与数字的数位有关
前缀和思想：通常将区间 [L, R] 的问题转化为 [0, R] 和 [0, L-1] 的差
逐位确定：从高位到低位依次确定每一位的数字

数位 DP 的实现方法

数位 DP 通常采用记忆化搜索的方式实现，主要考虑以下参数：

当前位置 pos：当前正在处理的数位位置
状态 state：记录之前数位的选择情况（如前几位数字的和、已选数字集合等）
限制标记 isLimit：表示当前位是否受到上界限制
数字标记 isNum：表示之前是否已经选择了数字（用于处理前导零）

基础模板代码

class Solution:
    def digitDP(self, n: int) -> int:
        s = str(n)
        
        @cache
        def dfs(pos, state, isLimit, isNum):
            if pos == len(s):
                return int(isNum)
            
            ans = 0
            if not isNum:
                ans = dfs(pos + 1, state, False, False)
            
            minX = 0 if isNum else 1
            maxX = int(s[pos]) if isLimit else 9
            
            for x in range(minX, maxX + 1): 
                if (state >> x) & 1 == 0:
                    ans += dfs(pos + 1, state | (1 << x), isLimit and x == maxX, True)
            return ans
    
        return dfs(0, 0, True, False)

经典问题解析

问题1：统计特殊整数

题目描述：统计区间 [1, n] 内所有数位都不相同的数字个数。

解题思路：

将数字转换为字符串，方便逐位处理
使用状态压缩记录已选数字（用二进制位表示）
从高位到低位递归处理，考虑是否受限制、是否有前导零等情况

代码实现：

class Solution:
    def countSpecialNumbers(self, n: int) -> int:
        s = str(n)
        
        @cache
        def dfs(pos, state, isLimit, isNum):
            if pos == len(s):
                return int(isNum)
            
            ans = 0
            if not isNum:
                ans = dfs(pos + 1, state, False, False)
            
            minX = 0 if isNum else 1
            maxX = int(s[pos]) if isLimit else 9
            
            for x in range(minX, maxX + 1): 
                if (state >> x) & 1 == 0:
                    ans += dfs(pos + 1, state | (1 << x), isLimit and x == maxX, True)
            return ans
    
        return dfs(0, 0, True, False)

问题2：至少有1位重复的数字

题目描述：统计区间 [1, n] 内至少有一位数字重复的数字个数。

解题思路：

正向求解困难，可以反向思考
先计算所有数位都不相同的数字个数
然后用总数减去不重复的数字个数

代码实现：

class Solution:
    def numDupDigitsAtMostN(self, n: int) -> int:
        s = str(n)
        
        @cache
        def dfs(pos, state, isLimit, isNum):
            if pos == len(s):
                return int(isNum)
            
            ans = 0
            if not isNum:
                ans = dfs(pos + 1, state, False, False)
            
            minX = 0 if isNum else 1
            maxX = int(s[pos]) if isLimit else 9
            
            for d in range(minX, maxX + 1): 
                if (state >> d) & 1 == 0:
                    ans += dfs(pos + 1, state | (1 << d), isLimit and d == maxX, True)
            return ans
    
        return n - dfs(0, 0, True, False)

问题3：数字1的个数

题目描述：计算所有小于等于n的非负整数中数字1出现的个数。

解题思路：

逐位统计数字1出现的次数
维护一个计数器记录当前已经出现的1的个数
不需要考虑前导零，简化处理逻辑

代码实现：

class Solution:
    def countDigitOne(self, n: int) -> int:
        s = str(n)
        
        @cache
        def dfs(pos, cnt, isLimit):
            if pos == len(s):
                return cnt
            
            ans = 0            
            minX = 0
            maxX = int(s[pos]) if isLimit else 9
            
            for d in range(minX, maxX + 1): 
                ans += dfs(pos + 1, cnt + (d == 1), isLimit and d == maxX)
            return ans
    
        return dfs(0, 0, True)