动态规划中的计数问题：LeetCode-Py 项目解析

动态规划中的计数问题：LeetCode-Py 项目解析

LeetCode-Py ⛽️「算法通关手册」：超详细的「算法与数据结构」基础讲解教程，从零基础开始学习算法知识，800+ 道「LeetCode 题目」详细解析，200 道「大厂面试热门题目」。 项目地址: https://gitcode.com/gh_mirrors/le/LeetCode-Py

计数类动态规划概述

计数类动态规划（Counting DP）是动态规划中一个重要的分支，它专注于解决需要统计满足特定条件方案数目的问题。与传统的动态规划不同，计数类DP不关注最优解，而是关注所有可行解的数量。

计数问题的特点

1. 目标不同：不是求最优值，而是求方案总数
2. 状态定义：通常定义为到达某个状态的方案数
3. 转移方程：关注如何从前驱状态累加方案数

经典问题解析：不同路径

问题描述

给定一个m×n的网格，机器人从左上角出发，每次只能向右或向下移动一步，问到达右下角有多少种不同的路径。

动态规划解法

状态定义

定义dp[i][j]为从起点(0,0)到达位置(i,j)的路径数量。

状态转移方程

由于机器人只能从上方或左方移动过来，因此状态转移方程为： dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i][j-1]

边界条件

• 第一行和第一列的路径数都是1，因为只能沿着边缘直线移动
• dp[0][0] = 1

代码实现

def uniquePaths(m: int, n: int) -> int:
    dp = [[1]*n for _ in range(m)]
    
    for i in range(1, m):
        for j in range(1, n):
            dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i][j-1]
    
    return dp[-1][-1]

空间优化

由于每次计算只依赖上一行和当前行的前一个元素，可以将空间复杂度优化到O(n)：

def uniquePaths(m: int, n: int) -> int:
    dp = [1] * n
    
    for _ in range(1, m):
        for j in range(1, n):
            dp[j] += dp[j-1]
    
    return dp[-1]

进阶问题：整数拆分

问题描述

给定一个正整数n，将其拆分为至少两个正整数的和，并使这些整数的乘积最大化，求最大乘积。

动态规划解法

状态定义

定义dp[i]为将整数i拆分成至少两个正整数之和后的最大乘积。

状态转移方程

对于每个i，尝试所有可能的拆分点j(1 ≤ j < i)： dp[i] = max(j*(i-j), j*dp[i-j]) 对所有j取最大值

边界条件

• dp[0] = dp[1] = 0 (0和1不能被拆分)

代码实现

def integerBreak(n: int) -> int:
    dp = [0]*(n+1)
    
    for i in range(2, n+1):
        for j in range(1, i):
            dp[i] = max(dp[i], j*(i-j), j*dp[i-j])
    
    return dp[n]

计数类DP的通用解题思路

1. 明确计数目标：清楚要统计什么
2. 定义状态：设计能表示当前情况的变量
3. 建立转移方程：找出状态之间的关系
4. 确定边界条件：设置初始状态的值
5. 选择计算顺序：确保计算当前状态时所需的前驱状态已计算

常见应用场景

1. 路径计数问题（网格行走、图路径等）
2. 组合计数问题（排列组合、子集等）
3. 分割问题（字符串分割、整数划分等）
4. 概率统计问题

总结

计数类动态规划是解决方案统计问题的有力工具。通过合理定义状态和转移方程，可以将看似复杂的计数问题转化为高效的动态规划解决方案。掌握这类问题的解法，能够帮助我们更好地理解和应用动态规划思想。

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