PyTorch深度学习项目中的图卷积网络(GCN)原理详解

PyTorch深度学习项目中的图卷积网络(GCN)原理详解

NYU-DLSP20 NYU Deep Learning Spring 2020 项目地址: https://gitcode.com/gh_mirrors/pyt/pytorch-Deep-Learning

传统卷积神经网络(ConvNets)回顾

卷积神经网络是解决高维学习问题的强大架构。让我们先理解什么是"维度灾难"。

维度灾难解析

考虑一张1024×1024像素的图像，可以看作是1,000,000维空间中的一个点。如果每个维度取10个样本，将产生10^1,000,000种可能的图像组合，这个数字极其庞大。卷积神经网络能够高效地从这种高维图像数据中提取最佳表示。

卷积神经网络的核心假设

1. 数据的组合性：图像、视频、语音等数据由以下模式组成：

   • 局部性：神经网络中的神经元只连接到相邻层，而非所有层
   • 平稳性：相似的模式在整个图像域中共享
   • 层次性：低级特征组合形成中级特征，进而形成更高级特征

2. 利用组合性结构：ConvNets提取组合特征并馈送给分类器、推荐系统等

图域数据的特点

传统数据域

• 图像、体积、视频位于2D、3D、2D+1欧几里得域(网格)上
• 句子、单词、语音位于1D欧几里得域上
• 这些域具有规则的时空结构，使得卷积运算快速且数学定义明确

图域数据示例

1. 社交网络：用户为节点，连接关系为边，每个用户有包含消息、图像、视频的三维特征矩阵
2. 大脑连接：大脑区域(ROI)为节点，区域间连接强度为边
3. 量子化学：原子为节点，化学键为边，分子/原子具有不同特征(如电荷、键类型等)

图的定义与特征

图G由以下元素定义：

• 顶点V
• 边E
• 邻接矩阵A

图特征包括：

• 节点特征：如原子类型
• 边特征：如键类型
• 图特征：如分子能量

传统卷积运算

卷积的抽象定义为： $$h^{\ell+1} = w^\ell * h^\ell$$

其中：

• $h^{\ell+1}$是$n_1×n_2×d$维特征
• $w^\ell$是$3×3×d$维卷积核
• $h^\ell$是$n_1×n_2×d$维输入特征

卷积运算可以理解为模板匹配过程，通过小尺寸核(如3×3或5×5)在局部感受野内进行操作，通常使用填充(padding)保持特征图尺寸不变。

图卷积的挑战

将模板匹配扩展到图域面临两个主要问题：

1. 节点无序性：图中节点没有固定顺序，无法确定核中节点与图中节点的对应关系
2. 邻域尺寸不一：不同节点的邻域大小可能不同，难以统一处理

图卷积解决方案：卷积定理

卷积定理指出，两个函数卷积的傅里叶变换等于它们傅里叶变换的点积： $$\mathcal{F}(w*h) = \mathcal{F}(w) \odot \mathcal{F}(h)$$

这引出了两个关键问题：

1. 如何定义图的傅里叶变换？
2. 如何为紧凑核实现O(n)复杂度的快速谱卷积？

谱图卷积网络实现步骤

第一步：图拉普拉斯矩阵

图拉普拉斯矩阵是谱图理论中的核心算子，定义为： $$\Delta = I - D^{-1/2} A D^{-1/2}$$

其中：

• A是邻接矩阵
• D是度矩阵(对角矩阵，元素为节点度数)

拉普拉斯矩阵可以理解为图平滑度的度量，即节点值与其邻域平均值之间的差异。

第二步：傅里叶函数

通过对图拉普拉斯矩阵进行特征分解： $$\Delta = \Phi^T \Lambda \Phi$$

其中：

• $\Phi$包含拉普拉斯特征向量(傅里叶函数)
• $\Lambda$包含拉普拉斯特征值(图谱)

第三步：傅里叶变换

傅里叶变换将函数h投影到傅里叶函数上，得到傅里叶级数系数： $$\mathcal{F}(h) = \Phi^T h = \hat{h}$$

逆傅里叶变换则通过傅里叶级数重建原函数： $$\mathcal{F}^{-1}(\hat{h}) = \Phi \hat{h} = h$$

第四步：卷积定理应用

根据卷积定理，图上的卷积运算可以表示为： $$w *_{\mathcal{G}} h = \Phi \hat{w}(\Lambda) \Phi^T h = \hat{w}(\Delta) h$$

这定义了谱卷积，但计算复杂度为O(n²)，n为图中节点数。

谱图卷积的局限性

谱卷积在图域上不具备平移不变性，这意味着函数平移可能导致其形状改变，这与欧几里得域上的卷积不同。

总结

本文详细介绍了图卷积网络的原理，从传统卷积神经网络出发，分析了图域数据的特殊性，阐述了图卷积面临的挑战，并基于卷积定理提出了谱图卷积的解决方案。理解这些基础概念对于掌握图神经网络至关重要。

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