IanHawke/NumericalMethods 项目解析：线性代数与数值计算基础教程

IanHawke/NumericalMethods 项目解析：线性代数与数值计算基础教程

NumericalMethods Some open material relating to the Southampton Numerical Methods course 项目地址: https://gitcode.com/gh_mirrors/nu/NumericalMethods

本文基于IanHawke/NumericalMethods项目中的第一个工作表内容，深入讲解线性代数和数值计算的基础知识，包括向量/矩阵范数、条件数计算以及二分法等核心数值方法。

向量范数计算与应用

向量范数是衡量向量"大小"的重要工具，在数值计算中有着广泛应用。常见的三种范数定义如下：

1. 1-范数（曼哈顿范数）：向量元素绝对值之和
2. 2-范数（欧几里得范数）：向量元素平方和的平方根
3. ∞-范数（最大范数）：向量元素绝对值的最大值

以向量v₁ = [1, 3, -1]为例：

• 1-范数：|1| + |3| + |-1| = 5
• 2-范数：√(1² + 3² + (-1)²) ≈ 3.3166
• ∞-范数：max(|1|, |3|, |-1|) = 3

在实际编程中，可以使用NumPy的linalg.norm函数方便地计算各种范数：

import numpy as np
v = np.array([1.0, 3.0, -1.0])
print(np.linalg.norm(v, 1))  # 1-范数
print(np.linalg.norm(v, 2))  # 2-范数
print(np.linalg.norm(v, np.inf))  # ∞-范数

矩阵范数与条件数

矩阵范数是向量范数的推广，用于衡量矩阵的"大小"。特别地：

1. 矩阵1-范数：列向量的1-范数最大值
2. 矩阵∞-范数：行向量的1-范数最大值

以矩阵A₁ = [[1, 2], [3, 4]]为例：

• 1-范数：max(1+3, 2+4) = 6
• ∞-范数：max(1+2, 3+4) = 7

条件数是矩阵数值稳定性的重要指标，定义为矩阵范数与其逆矩阵范数的乘积：

K(A) = ||A||·||A⁻¹||

条件数越大，矩阵求逆或解线性方程组时对误差越敏感。在NumPy中可直接计算：

A = np.array([[1.0, 2.0], [3.0, 4.0]])
print(np.linalg.cond(A, 1))  # 1-范数条件数
print(np.linalg.cond(A, np.inf))  # ∞-范数条件数

直接法与迭代法对比

解线性方程组的方法可分为两大类：

直接法：通过有限步变换将矩阵化为易解形式（如LU分解、高斯消元）

• 优点：精确，适合中小规模稠密矩阵
• 缺点：存储需求大，不适合稀疏矩阵

迭代法：通过迭代逼近解（如Jacobi、Gauss-Seidel）

• 优点：内存效率高，适合大规模稀疏矩阵
• 缺点：可能需要很多迭代，收敛性不确定

二分法求根实践

二分法是求解非线性方程f(x)=0的可靠方法，基于连续函数的中值定理。以求解tan(x)-e⁻ˣ=0在[0,1]内的根为例：

def bisection(f, interval, tolerance=1e-10):
    # 实现细节...
    pass

def f(x):
    return np.tan(x) - np.exp(-x)

root = bisection(f, [0, 1])

二分法保证收敛但速度较慢，每次迭代将区间减半，适合作为其他快速方法的初始估计。

数值计算实践建议

1. 计算条件数应成为解线性方程组前的标准检查步骤
2. 对于病态矩阵(条件数大)，应考虑正则化或特殊算法
3. 二分法虽然简单，但在工程应用中仍很有价值
4. 理解不同范数的物理意义有助于选择合适的方法

通过掌握这些基础数值方法，可以为进一步学习更复杂的数值算法奠定坚实基础。

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