RobotLocomotion/drake项目中的三次多项式系统吸引域计算分析

RobotLocomotion/drake项目中的三次多项式系统吸引域计算分析

drake Model-based design and verification for robotics. 项目地址: https://gitcode.com/gh_mirrors/dr/drake

引言

在控制系统理论中，确定非线性系统的稳定区域是一个重要课题。本文将通过RobotLocomotion/drake项目中的示例代码，详细讲解如何计算一个三次多项式系统的吸引域(Region of Attraction)。吸引域是指系统状态最终会收敛到平衡点的初始状态集合。

系统模型分析

示例中定义了一个简单的三次多项式系统：

ẋ = -x + x³
y = x

这是一个典型的非线性系统，具有三个平衡点：

1. x = 0 (稳定平衡点)
2. x = 1 (不稳定平衡点)
3. x = -1 (不稳定平衡点)

我们的目标是确定围绕稳定平衡点x=0的吸引域范围。

技术实现解析

1. 系统实现

代码中通过CubicPolynomialSystem类实现了这个系统，继承自VectorSystem基类。关键点包括：

• 系统状态维度为1（单变量x）
• 重写了DoCalcVectorTimeDerivatives方法实现系统动力学
• 使用模板参数T支持符号计算和数值计算

2. 吸引域计算核心算法

ComputeRegionOfAttraction函数实现了吸引域计算的主要逻辑：

1. 系统初始化：创建系统实例和上下文
2. 优化问题设置：使用MathematicalProgram定义优化问题
3. 李雅普诺夫函数：选择简单的二次函数V = x²作为候选李雅普诺夫函数
4. 稳定性条件：构造SOS(Sum-of-Squares)约束确保稳定性
5. 优化求解：最大化ρ使得V < ρ的区域都在吸引域内

3. SOS优化技术

代码中使用了Sum-of-Squares优化技术，这是一种基于多项式非负性判定的凸优化方法：

• 定义辅助多项式λ(x)作为SOS多项式
• 构造约束条件：(V(x) - ρ)x² - λ(x)V̇(x)是SOS多项式
• 通过最大化ρ来扩大估计的吸引域范围

数学原理深入

吸引域计算基于李雅普诺夫稳定性理论：

1. 找到正定函数V(x)（本例中V(x)=x²）
2. 计算其沿系统轨迹的导数V̇(x)
3. 寻找最大的区域使得V(x) < ρ且V̇(x) < 0

在本例中，解析解可以验证：

• 当|x| < 1时，系统收敛到x=0
• 当|x| > 1时，系统发散
• 因此理论上的吸引域边界是x=±1

代码通过优化计算得到的ρ≈1.0，与理论分析完美吻合。

实际应用价值

这种技术可以扩展到更复杂的非线性系统，在机器人控制领域有广泛应用：

1. 机器人平衡控制稳定性分析
2. 机械臂轨迹跟踪的稳定区域确定
3. 无人机飞行控制器的性能验证

代码扩展建议

对于实际工程应用，可以考虑以下扩展：

1. 高维系统扩展：将方法推广到多状态变量系统
2. 更复杂的李雅普诺夫函数：提高吸引域估计的准确性
3. 参数不确定性：考虑系统参数变化时的鲁棒稳定性分析

结论

本文通过RobotLocomotion/drake项目中的示例，详细讲解了非线性系统吸引域计算的实现方法和数学原理。这种基于SOS优化的方法为复杂控制系统的稳定性分析提供了强有力的工具，特别适合机器人领域的各种非线性控制问题。

drake Model-based design and verification for robotics. 项目地址: https://gitcode.com/gh_mirrors/dr/drake