数据结构与算法面试指南：树结构全面解析

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树结构是计算机科学中最重要的非线性数据结构之一，广泛应用于各种算法和系统中。本文将全面介绍各种树结构及其特性，帮助读者深入理解这一核心数据结构。

一、二叉树基础

二叉树是每个节点最多有两个子节点的树结构，是树结构中最基础也最重要的形式。

二叉树遍历方式

二叉树有三种基本遍历方式，它们的区别在于访问根节点的时机不同：

1. 先序遍历(DLR)：先访问根节点，然后遍历左子树，最后遍历右子树
2. 中序遍历(LDR)：先遍历左子树，然后访问根节点，最后遍历右子树
3. 后序遍历(LRD)：先遍历左子树，然后遍历右子树，最后访问根节点

重要提示：仅凭前序和后序遍历无法唯一确定一棵二叉树，必须要有中序遍历结果作为辅助。

二叉树重要性质

1. 层次性质：第i层最多有2^(i-1)个节点
2. 节点总数：高度为k的二叉树最多有2^k-1个节点
3. 叶子节点关系：对于任何非空二叉树，叶子节点数n₀ = 度为2的节点数n₂ + 1

特殊二叉树类型

1. 满二叉树：深度为k且有2^k-1个节点的二叉树

   • 性质：第i层有2^(i-1)个节点

2. 完全二叉树：除最后一层外，其他层节点都达到最大数，且最后一层节点从左向右连续排列

   • 性质：具有n个节点的完全二叉树高度为⌊log₂n⌋+1

二、高级树结构

1. 堆结构

堆是一种特殊的完全二叉树，具有以下性质：

• 任意节点值都小于(或大于)其子节点值
• 总是完全二叉树，即除最后一层外其他层都被填满

堆分为：

• 最大堆(大根堆)：根节点值最大
• 最小堆(小根堆)：根节点值最小

堆通常用数组实现，父子节点关系可通过下标计算：

• 父节点i的左子节点：2i
• 父节点i的右子节点：2i+1
• 子节点i的父节点：⌊i/2⌋

2. 霍夫曼树

霍夫曼树(最优二叉树)是带权路径长度(WPL)最短的二叉树，广泛应用于数据压缩领域。

构造步骤：

1. 将权值作为独立树构成森林
2. 选取权值最小的两棵树合并，新树根节点权值为两者之和
3. 重复合并直到只剩一棵树

霍夫曼编码：

• 左路径标记为0，右路径标记为1
• 从根到叶子的路径即为该叶子节点的编码

3. 二叉查找树(BST)

二叉查找树具有以下性质：

• 左子树所有节点值小于根节点值
• 右子树所有节点值大于根节点值
• 左右子树也都是二叉查找树
• 没有键值相等的节点

查找时间复杂度平均为O(log n)，最坏情况下退化为O(n)。

4. 平衡二叉树

为了解决BST可能退化为链表的问题，引入了平衡二叉树的概念。

AVL树

• 任何节点的两个子树高度差不超过1
• 通过旋转操作(左旋/右旋)保持平衡
• 高度为k的AVL树最多有2^k-1个节点

红黑树

红黑树是另一种自平衡二叉查找树，具有以下特性：

1. 节点为红或黑色
2. 根节点为黑色
3. 叶子节点(NIL)为黑色
4. 红色节点的子节点必须为黑色
5. 从任一节点到其叶子的所有路径包含相同数目的黑色节点

红黑树通过颜色约束和旋转操作保持平衡，相比AVL树牺牲了部分平衡性换取更高的插入/删除效率。

三、B树与B+树

B树

B树是一种适合外存的多路平衡查找树，主要特性：

• 每个节点最多m个子节点
• 非根节点至少有⌈m/2⌉个子节点
• 所有叶子节点在同一层

操作特点：

• 查找：类似BST，但在每个节点内部可能需要顺序或二分查找
• 插入：可能导致节点分裂
• 删除：可能导致节点合并

B+树

B+树是B树的变体，主要区别：

1. 非叶子节点仅作索引，不存储数据
2. 所有数据都存储在叶子节点
3. 叶子节点通过指针链接形成链表

优势：

• 查询效率更稳定(所有查询都到叶子节点)
• 范围查询效率更高(叶子节点链表结构)
• 更适合文件系统和数据库索引

四、Trie树(前缀树)

Trie树是一种专门处理字符串的多叉树，特点：

• 节点不存储完整字符串，而是字符
• 从根到叶子的路径表示一个完整字符串
• 公共前缀共享路径

应用场景：

• 自动补全
• 拼写检查
• IP路由查找

优缺点：

• 优点：查找效率高(O(n)，n为字符串长度)
• 缺点：空间消耗大(特别是字符集大时)

总结

树结构是算法面试中的重点考察内容，理解各种树结构的特性和应用场景对于解决实际问题至关重要。从基础的二叉树到复杂的B+树，每种结构都有其特定的适用场景和优势。掌握这些数据结构的特点和操作，能够帮助我们在系统设计和算法优化中做出更合理的选择。

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