动态规划完全背包问题详解 - itcharge/LeetCode-Py项目解析

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什么是完全背包问题

完全背包问题是经典的动态规划问题之一，与0-1背包问题类似但有重要区别。问题描述如下：

给定n种物品和一个容量为W的背包，第i种物品的重量为weight[i]，价值为value[i]，每种物品的数量无限。求解在不超过背包容量的情况下，能够装入背包的最大价值总和。

完全背包与0-1背包的区别

完全背包与0-1背包的核心区别在于物品的可选数量：

• 0-1背包：每种物品只能选0件或1件
• 完全背包：每种物品可以选择0件或任意多件（只要不超过背包容量）

基本解法思路

方法一：三维循环暴力解法

最直观的思路是枚举每种物品的选择数量：

1. 定义状态dp[i][w]表示前i种物品装入容量为w的背包的最大价值
2. 对于每种物品i，枚举可能的选取数量k（0 ≤ k ≤ w/weight[i-1]）
3. 状态转移方程： dp[i][w] = max(dp[i-1][w-kweight[i-1]] + kvalue[i-1])，对所有可能的k

这种方法虽然直观，但时间复杂度高达O(nW²)，效率较低。

方法二：优化状态转移方程

通过数学推导可以优化状态转移方程：

1. 原始状态转移方程展开后可以发现规律
2. 优化后的状态转移方程： dp[i][w] = max(dp[i-1][w], dp[i][w-weight[i-1]] + value[i-1])
3. 当w < weight[i-1]时，dp[i][w] = dp[i-1][w]

这种优化将时间复杂度降为O(nW)，空间复杂度仍为O(nW)。

方法三：滚动数组优化空间

进一步观察可以发现，状态转移只依赖于当前行和上一行的部分数据，因此可以使用一维数组优化空间：

1. 定义dp[w]表示容量为w的背包能装的最大价值
2. 状态转移方程： dp[w] = max(dp[w], dp[w-weight[i-1]] + value[i-1])
3. 需要正序遍历背包容量（与0-1背包的逆序遍历不同）

这种方法将空间复杂度优化到O(W)，是实际应用中最常用的解法。

关键点解析

1. 正序与逆序遍历的区别：

   • 完全背包使用正序遍历，因为可以重复选取同一物品
   • 0-1背包使用逆序遍历，确保物品只被选取一次

2. 状态转移的理解：

   • dp[i][w] = max(不选当前物品，选当前物品)
   • 选当前物品时，由于可以重复选，所以是从dp[i][w-weight[i-1]]转移而来

3. 边界条件处理：

   • 容量为0时，价值为0
   • 物品数量为0时，价值为0

代码实现

以下是滚动数组优化的Python实现：

def completePack(weight, value, W):
    dp = [0] * (W + 1)
    for i in range(len(weight)):
        for w in range(weight[i], W + 1):
            dp[w] = max(dp[w], dp[w - weight[i]] + value[i])
    return dp[W]

复杂度分析

• 时间复杂度：O(nW)，n为物品种类，W为背包容量
• 空间复杂度：O(W)，只需一维数组存储状态

实际应用

完全背包问题有许多实际应用场景，例如：

• 零钱兑换问题（硬币无限供应）
• 物品切割问题（原材料可以无限切割）
• 资源分配问题（资源可以重复使用）

理解完全背包问题的解法思路，对于解决这类实际问题非常有帮助。

总结

完全背包问题是动态规划中的经典问题，通过本文的三种解法可以看出动态规划问题的优化思路：从暴力解法开始，通过寻找规律优化状态转移方程，最后通过空间优化减少内存使用。掌握这种逐步优化的思路，对于解决其他动态规划问题也大有裨益。

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