Coq项目中的Program特性详解：构建经过验证的程序

Coq项目中的Program特性详解：构建经过验证的程序

coq Coq is a formal proof management system. It provides a formal language to write mathematical definitions, executable algorithms and theorems together with an environment for semi-interactive development of machine-checked proofs. 项目地址: https://gitcode.com/gh_mirrors/co/coq

概述

在Coq证明助手中，Program特性提供了一种强大的方式来构建经过验证的程序。它允许开发者像在常规函数式编程语言中一样编写代码，同时利用Coq丰富的规范系统来确保程序正确性。本文将深入探讨Program特性的工作原理、使用方法和最佳实践。

Program的核心概念

Program特性由Matthieu Sozeau开发，其核心思想是从算法骨架和详细规范出发，构建经过验证的Coq程序。这一过程可以看作是提取(Extraction)的逆向操作。

Program基于PVS的"谓词子类型"机制，通过在项中插入存在变量来生成类型检查条件，这些变量最终必须通过证明来填充，从而得到完整的Coq项。

程序精化过程

类型系统扩展

Program的主要创新在于扩展了Coq的类型系统：

1. 子集类型转换：类型T:Set中的对象可以被视为类型{x:T | P}的对象，其中P是任何良构的命题。这种转换会生成证明义务。

2. 自动投影：从子集类型向基类型转换时，Program会自动插入投影操作。

模式匹配的特殊处理

Program对模式匹配进行了特殊处理：

1. 等式生成：每个匹配表达式都会生成相应的等式。例如：

   match x with
   | 0 => t
   | S n => u
   end.
   

   会被重写为包含等式证明的形式。

2. 不等式生成：如果模式与先前模式相交，会在第二个分支的上下文中添加不等式。

3. 自动强制转换：如果被匹配对象可强制转换为归纳类型，会自动插入相应强制转换。

控制标志

Program提供了多个标志来控制其行为：

1. Program Cases：控制模式匹配生成等式和不等式的特殊处理（默认开启）。

2. Program Generalized Coercion：控制一般归纳类型的强制转换（默认开启）。

3. Program Mode：启用程序模式，允许子集强制转换，并按照program属性处理模式匹配精化。

4. program属性：可以在特定定义上启用或禁用Program模式。

主要命令

Program Definition

Program Definition命令在Russell中类型检查值项并生成证明义务。解决这些义务后，它将最终的Coq项绑定到全局环境中的名称。

示例：

Program Definition id (n : nat) : { x : nat | x = n } :=
  if sumbool_of_bool (Nat.leb n 0) then 0
  else S (pred n).

Program Fixpoint

Program Fixpoint命令可以定义递归函数，并可能生成证明义务。它支持相互递归定义和终止性证明。

示例：

Program Fixpoint div2 (n : nat) : { x : nat | n = 2 * x \/ n = 2 * x + 1 } :=
  match n with
  | S (S p) => S (div2 p)
  | _ => O
  end.

终止性可以通过度量函数或良基关系来证明：

Program Fixpoint div2 (n : nat) {measure n} : ... := ...

Program Lemma

Program Lemma命令使用Russell语言来类型检查逻辑属性的陈述。它会尝试自动解决生成的义务，如果失败则保留未解决的义务。

义务管理

Program提供了一系列命令来管理证明义务：

1. Obligation Tactic：设置默认的义务解决策略。

2. Show Obligation Tactic：显示当前的默认策略。

3. Obligations：显示所有剩余的证明义务。

4. Next Obligation：开始下一个未解决义务的证明。

5. Solve Obligations：尝试使用给定策略或默认策略解决所有义务。

6. Admit Obligations：承认所有义务（不适用于结构递归程序）。

常见问题解答

结构递归定义错误

当尝试在子集对象上进行结构递归时，可能会遇到"Ill-formed recursive definition"错误。这是因为递归调用参数被包装在exist构造函数中，不再是直接子项。

解决方案是使用良基递归：

Program Fixpoint f (x : A | P) { measure (size x) } :=
  match x with A b => f b end.

需要注意：

1. 需要定义度量函数
2. 求值过程稍复杂，但惰性求值效果良好
3. 不再支持底层归纳类型的相互递归，但支持嵌套相互递归

最佳实践

1. 对于结构递归函数，确保义务证明是透明的(Defined)，以便内核类型检查器可以验证递归调用的保护条件。

2. 使用度量或良基递归时，注意它们会为函数添加隐式参数。

3. 当义务证明中出现当前定义的函数时，必须声明为透明，否则应优化证明以避免这种依赖。

Program特性为Coq用户提供了强大的工具来构建经过验证的程序，同时保持接近常规编程语言的开发体验。通过合理使用其提供的各种命令和选项，可以高效地开发形式化验证的软件系统。

coq Coq is a formal proof management system. It provides a formal language to write mathematical definitions, executable algorithms and theorems together with an environment for semi-interactive development of machine-checked proofs. 项目地址: https://gitcode.com/gh_mirrors/co/coq