使用NumPy验证正态分布特性：realpython/materials项目解析

使用NumPy验证正态分布特性：realpython/materials项目解析

materials Bonus materials, exercises, and example projects for our Python tutorials 项目地址: https://gitcode.com/gh_mirrors/ma/materials

正态分布概述

正态分布（Normal Distribution），又称高斯分布（Gaussian Distribution），是统计学中最重要、应用最广泛的概率分布之一。它的概率密度函数呈现典型的钟形曲线特征，在自然界和社会科学中十分常见。

正态分布有几个关键特性：

• 对称性：曲线关于均值对称
• 均值、中位数和众数重合
• 68.2%的数据落在均值±1个标准差范围内
• 95.45%的数据落在均值±2个标准差范围内
• 99.73%的数据落在均值±3个标准差范围内

实验验证正态分布特性

我们将使用NumPy的随机数生成器来验证正态分布的这些特性，特别是验证约95%的数据落在±2个标准差范围内的性质。

1. 生成正态分布随机数

首先，我们需要生成一组符合标准正态分布（均值为0，标准差为1）的随机数：

from numpy.random import default_rng

rng = default_rng()
values = rng.standard_normal(10_000)

这里使用了NumPy的default_rng()创建随机数生成器，然后调用standard_normal()方法生成10,000个标准正态分布的随机数。

2. 计算实际标准差

虽然理论上标准正态分布的标准差为1，但由于我们使用的是有限样本，实际计算的标准差会略有差异：

std = values.std()  # 计算样本标准差

3. 筛选±2个标准差范围内的数据

接下来，我们筛选出落在均值±2个标准差范围内的数据点：

filtered = values[(values > -2 * std) & (values < 2 * std)]

这个布尔索引操作会返回所有满足-2σ < x < 2σ条件的数据点。

4. 计算比例

最后，我们计算落在该范围内的数据点占总数据的比例：

filtered.size / values.size

在实际运行中，这个比例通常会非常接近理论值95.45%，验证了正态分布的特性。

深入理解

为什么使用10,000个样本点？

样本量越大，实验结果越接近理论值。10,000是一个足够大的数字，可以确保结果的稳定性，同时不会造成计算负担。

标准差的计算

values.std()计算的是样本标准差，使用n-1作为分母（无偏估计）。这与理论标准差（总体标准差）略有不同，但在大样本情况下差异可以忽略。

随机数生成器

default_rng()是NumPy推荐的新随机数生成器接口，替代了旧的RandomState。它使用了更现代的算法，性能更好，随机性质量更高。

实际应用

理解正态分布的特性在实际中有广泛的应用：

1. 质量控制：制造业中常用±3σ作为控制限
2. 假设检验：许多统计检验基于正态分布假设
3. 异常检测：远离均值±2σ或±3σ的数据可能被视为异常值
4. 金融建模：资产价格变动常假设服从正态分布

扩展思考

1. 尝试修改样本量（如100、1,000,000），观察比例变化
2. 验证其他范围（如±1σ、±3σ）的比例是否符合理论预期
3. 可视化数据分布，绘制直方图叠加理论正态曲线

通过这个简单的实验，我们不仅验证了正态分布的理论特性，也掌握了使用NumPy进行统计分析和随机数生成的基本方法。

materials Bonus materials, exercises, and example projects for our Python tutorials 项目地址: https://gitcode.com/gh_mirrors/ma/materials