Lean4中的互递归定义与定理证明：以Term处理为例-优快云博客

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Lean4中的互递归定义与定理证明：以Term处理为例

lean4 Lean 4 programming language and theorem prover 项目地址: https://gitcode.com/gh_mirrors/le/lean4

互递归概念解析

在函数式编程和定理证明中，互递归（Mutual Recursion）是指两个或多个函数相互调用对方的情况。这种模式在处理嵌套数据结构时特别有用，比如树形结构或包含自引用类型的数据。

Lean4作为一款强大的定理证明辅助工具，提供了mutual关键字来支持互递归定义，使得开发者能够优雅地处理这类相互依赖的计算逻辑。

Term数据结构的定义

示例中定义了一个简单的Term类型，用于表示某种表达式语言：

inductive Term where
 | const : String → Term
 | app   : String → List Term → Term

这个定义表示：

const：一个字符串常量构造器
app：函数应用构造器，包含一个函数名和一个Term列表作为参数

互递归函数定义

常量计数函数

第一个互递归对定义了如何计算Term中的常量数量：

mutual
 def numConsts : Term → Nat
   | const _ => 1
   | app _ cs => numConstsLst cs

 def numConstsLst : List Term → Nat
   | [] => 0
   | c :: cs => numConsts c + numConstsLst cs
end

这个定义展示了典型的互递归模式：

numConsts处理单个Term，遇到app时调用numConstsLst处理子Term列表
numConstsLst处理Term列表，对每个元素调用numConsts

常量替换函数

第二个互递归对实现了常量替换功能：

mutual
  def replaceConst (a b : String) : Term → Term
   | const c => if a = c then const b else const c
   | app f cs => app f (replaceConstLst a b cs)

  def replaceConstLst (a b : String) : List Term → List Term
   | [] => []
   | c :: cs => replaceConst a b c :: replaceConstLst a b cs
end

这个实现：

replaceConst在遇到匹配的常量时进行替换，否则保持原样
replaceConstLst遍历列表并对每个元素应用replaceConst

互递归定理证明

Lean4的强大之处在于不仅能定义互递归函数，还能证明关于这些函数的性质：

mutual
  theorem numConsts_replaceConst (a b : String) (e : Term)
            : numConsts (replaceConst a b e) = numConsts e := by
    match e with
    | const c => simp [replaceConst]; split <;> simp [numConsts]
    | app f cs => simp [replaceConst, numConsts, numConsts_replaceConstLst a b cs]

  theorem numConsts_replaceConstLst (a b : String) (es : List Term)
            : numConstsLst (replaceConstLst a b es) = numConstsLst es := by
    match es with
    | [] => simp [replaceConstLst, numConstsLst]
    | c :: cs =>
      simp [replaceConstLst, numConstsLst, numConsts_replaceConst a b c,
            numConsts_replaceConstLst a b cs]
end

这两个定理证明了替换操作不会改变Term中常量的总数，无论替换是否实际发生。证明过程也采用互递归形式：