PyMC中的高斯过程(Gaussian Processes)详解-优快云博客

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PyMC中的高斯过程(Gaussian Processes)详解

pymc Python 中的贝叶斯建模和概率编程。项目地址: https://gitcode.com/gh_mirrors/py/pymc

什么是高斯过程？

在统计学和机器学习领域，高斯过程(Gaussian Process, GP)是一种强大的非参数方法，用于对函数进行建模。与传统的参数化方法不同，高斯过程直接在函数空间上定义概率分布，使其成为贝叶斯非参数建模的理想工具。

在PyMC中，高斯过程被实现为一类特殊的概率分布，可以无缝集成到更大的概率模型中。高斯过程的核心思想是：任何有限个函数值的集合都服从多元正态分布。

高斯过程的基本组成

均值函数和协方差函数

高斯过程由两个关键组件定义：

均值函数 m(x)：表示函数的期望行为
协方差函数 k(x, x')：也称为核函数，决定了函数的平滑度和变化特性

数学表示为： f(x) ~ GP(m(x), k(x, x'))

PyMC提供了多种预定义的协方差函数，包括：

ExpQuad：指数二次核(也称为RBF核)
Matern：马特恩核族
Periodic：周期核
Linear：线性核

协方差函数的组合

PyMC允许通过代数运算组合协方差函数，创建更复杂的核结构：

# 两个协方差函数的和
cov_func = pm.gp.cov.ExpQuad(...) + pm.gp.cov.ExpQuad(...)

# 两个协方差函数的乘积 
cov_func = pm.gp.cov.ExpQuad(...) * pm.gp.cov.Periodic(...)

# 协方差函数与标量的乘积
cov_func = eta**2 * pm.gp.cov.Matern32(...)

这种灵活性使得我们可以构建适合各种复杂模式的协方差结构。

PyMC中的高斯过程实现

PyMC提供了几种高斯过程实现，适用于不同场景：

1. Latent变量实现

适用于潜在变量模型，当函数值无法直接观测时使用：

gp = pm.gp.Latent(mean_func, cov_func)
f = gp.prior("f", X)  # 创建表示函数的随机变量

2. Marginal实现

适用于回归问题，当观测值带有噪声时：

gp = pm.gp.Marginal(mean_func, cov_func)
y = gp.marginal_likelihood("y", X, y_obs, noise)

3. 近似实现

对于大规模数据集，PyMC还提供了近似的高斯过程实现，以提高计算效率。

预测与条件分布

训练模型后，我们可以使用条件分布进行预测：

f_star = gp.conditional("f_star", X_new)

这将创建一个表示新输入点X_new处函数值的随机变量。

加性高斯过程

PyMC支持构建加性高斯过程模型，允许将复杂函数分解为多个简单组件的和：

gp1 = pm.gp.Marginal(mean_func1, cov_func1)
gp2 = pm.gp.Marginal(mean_func2, cov_func2)
gp = gp1 + gp2  # 组合两个高斯过程

这种加性结构特别有用，当：

数据表现出多种不同尺度的变化
需要分离不同来源的变异
构建具有可解释组件的模型

实际应用示例

以下是一个完整的高斯过程回归示例框架：

import pymc as pm

# 定义模型
with pm.Model() as model:
    # 定义协方差函数
    ls = pm.Gamma("ls", alpha=2, beta=1)
    cov_func = pm.gp.cov.ExpQuad(input_dim=1, ls=ls)
    
    # 创建高斯过程
    gp = pm.gp.Marginal(cov_func=cov_func)
    
    # 定义噪声
    noise = pm.HalfNormal("noise", sigma=1)
    
    # 创建边际似然
    y_ = gp.marginal_likelihood("y", X=X, y=y_obs, noise=noise)
    
    # 进行推断
    idata = pm.sample(1000)
    
    # 预测
    f_star = gp.conditional("f_star", X_new)
    ppc = pm.sample_posterior_predictive(idata, var_names=["f_star"])