蓝桥 ALGO-2 最大最小公倍数

描述：对于一个整数n(1<=n<=10^6),取三个不小于n的正整数，使其最小公倍数最大。

 

先介绍三条数论的基本知识：

1.任意大于１的两个相邻的正整数是互质的。

2.两个数的公约数只有１和－１，称为互质整数。

3.两个数的公约数只有１，称为互质自然数。

 

分析：最先想到的答案是n*(n-1)*(n-2),(注：n>2),但是我们得考虑是的,n和(n-2)差２，是否也互质？

情况一：当ｎ为奇数时，我们考虑它二者是否有公约数２，显然没有，即结果为n*(n-1)*(n-2).

情况二：当ｎ为偶数时，我们可以知道,它两者有公约数２，此时，我们在考虑n*(n-1)*(n-3),

现在，(n-1)和(n-3)都是奇数，是互质，那我们就只要考虑n和(n-3)是否存在公约数　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 了，即ｎ是否能被３整除；若ｎ不能被３整除，则就是结果了，否则，我们考虑n*(n-1)*(n-4),可以看到,n和(n-4)又都是偶数了...那我们再考虑n*(n-1)*(n-5),我们一直都在看n*(..)*(...)，忘记了(n-1)*(n-2)*(n-3)了没,我们来计算一下：

n*(n-1)*(n-5)=n^3-6*n^2+5*n     (1)

(n-1)*(n-2)*(n-3)=n^3-6*n^2+11*n-6    (2)

(2)-(1):6*n-6>=0

即，如果（１）式可以的话，那（２）肯定要大于等于（１），所以，在这种情况下，（２）式是答案。