无理数的定义

分划

根据戴德金定理，若将全部的有理数所构成的集合分拆为两个非空集合（即其中至少包含一个数的集合）$A$、$A^{\prime }$，当它们满足下列条件时，则集合$A$称为分划的下组，集合$A^{\prime }$称为分划的上组，分划记为$A|A^{\prime }$。

1. 任一有理数，必在且仅在$A$及$A^{\prime }$二集合之一中出现。
2. 集合$A$内的任一数$a$，必小于集合$A^{\prime }$内的任一数$a^{\prime }$。

且由分划的定义可推得，小于下组内的数$a$的一切有理数也都属于下组；大于上组内的数$a^{\prime }$的一切有理数都属于上组。

例子

1. 存在一个数$x$，一切满足不等式$a<r$的有理数$a$，构成集合$A$；一切满足$a^{\prime }⩾r$的有理数