LeetCode04:Median of Two Sorted Arrays

最新推荐文章于 2023-06-12 16:30:30 发布

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分类专栏： LeetCode 文章标签：算法 leetcode 面试题

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本文介绍了一种高效算法，用于计算两个已排序数组合并后的中位数。通过将问题转化为寻找第k小元素，实现了O(log(m+n))的时间复杂度。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

原题目：

There are two sorted arrays A and B of size m and n respectively. Find the median of the two sorted arrays. The overall run time complexity should be O(log (m+n)).

给定两个拍好序的整形数组，返回这两个数组合并后的中位数

算法分析：

算法1：

合并两个有序的数组，根据已经排好序的两个数组里的数字大小，重新生成一个数组，依次比较两个数组中的数字大小，然后放到新的数组中。

算法2：

最后从网上看到了一种非常好的方法。原文用英文进行解释，在此我们将其翻译成汉语。该方法的核心是将原问题转变成一个寻找第k小数的问题（假设两个原序列升序排列），这样中位数实际上是第(m+n)/2小的数。所以只要解决了第k小数的问题，原问题也得以解决。

首先假设数组A和B的元素个数都大于k/2，我们比较A[k/2-1]和B[k/2-1]两个元素，这两个元素分别表示A的第k/2小的元素和B的第k/2小的元素。这两个元素比较共有三种情况：>、<和=。如果A[k/2-1]<B[k/2-1]，这表示A[0]到A[k/2-1]的元素都在A和B合并之后的前k小的元素中。换句话说，A[k/2-1]不可能大于两数组合并之后的第k小值，所以我们可以将其抛弃。

证明也很简单，可以采用反证法。假设A[k/2-1]大于合并之后的第k小值，我们不妨假定其为第（k+1）小值。由于A[k/2-1]小于B[k/2-1]，所以B[k/2-1]至少是第（k+2）小值。但实际上，在A中至多存在k/2-1个元素小于A[k/2-1]，B中也至多存在k/2-1个元素小于A[k/2-1]，所以小于A[k/2-1]的元素个数至多有k/2+ k/2-2，小于k，这与A[k/2-1]是第（k+1）的数矛盾。

当A[k/2-1]>B[k/2-1]时存在类似的结论。

当A[k/2-1]=B[k/2-1]时，我们已经找到了第k小的数，也即这个相等的元素，我们将其记为m。由于在A和B中分别有k/2-1个元素小于m，所以m即是第k小的数。(这里可能有人会有疑问，如果k为奇数，则m不是中位数。这里是进行了理想化考虑，在实际代码中略有不同，是先求k/2，然后利用k-k/2获得另一个数。)

通过上面的分析，我们即可以采用递归的方式实现寻找第k小的数。此外我们还需要考虑几个边界条件：

如果A或者B为空，则直接返回B[k-1]或者A[k-1]；

如果k为1，我们只需要返回A[0]和B[0]中的较小值；

如果A[k/2-1]=B[k/2-1]，返回其中一个；

遇到问题及解决方法：

1.在求double类型的数据时，应该除以一个浮点型数字，例如： double result = (newarray[tmp] + newarray[tmp-1])/2.0时，若最后除的数为2，则返回的是一个只有整数部分的浮点数字。

LeetCode提交源码：

public double findMedianSortedArrays(int[] nums1,int[] nums2){
		int len = nums1.length + nums2.length;
		if(len % 2 == 1){
			return findKth(nums1,0,nums2,0,len/2 + 1);
		}
		return(findKth(nums1,0,nums2,0,len/2) + findKth(nums1,0,nums2,0,len/2 +1))/2.0;
	}
	public static int findKth(int[] A,int A_start,int[] B,int B_start,int k){
		/*
		判断输入的数组A是否为空，若为空则返回B数组的中间数字：B_start + k - 1 指向B的中间数字
		*/
		if(A_start >= A.length){
			return B[B_start + k - 1];
		}
		/*
		判断输入的数组A是否为空，若为空则返回B数组
		*/
		if(B_start >= B.length){
			return A[A_start + k -1];
		}
		
		if(k == 1){
			return Math.min(A[A_start], B[B_start]);		//两个值中最小的那个必定是中位数
		}
		
		int A_key = A_start + k / 2 - 1 < A.length ?       	//找到第k/2小的元素
				A[A_start + k / 2 - 1]:Integer.MAX_VALUE;   // Integer.MAX_VALUE :返回Java中Integer的最大值，即32767
		int B_key = B_start + k / 2 - 1 < B.length ?
				B[B_start + k / 2 - 1]:Integer.MAX_VALUE;		
		
		if(A_key < B_key){
			/*将比A[k/2-1]之前的元素全部抛弃，因为这些元素合并后不可能大于合并后的第
			k小值，即中间数不可能在这些数字中出现*/
			return findKth(A,A_start + k / 2,B,B_start, k-k/2);
		}else{
			/*将比B[k/2-1]之前的元素全部抛弃，因为这些元素合并后不可能大于合并后的第
			k小值，即中间数不可能在这些数字中出现*/
			return findKth(A,A_start,B,B_start + k/2,k-k/2);  		
		}
	}

完整运行程序：

/**************************************************************      
* Copyright (c) 2016      
* All rights reserved.                   
* 版 本 号：v1.0                   
* 题目描述：There are two sorted arrays A and B of size m and n respectively. Find the median of the 
* 			two sorted arrays. The overall run time complexity should be O(log (m+n)).
*			给定两个拍好序的整形数组，返回这两个数组合并后的中位数
* 输入描述：4
*			请输入第二个数组：
*			6
* 程序输出： len = 1, tmp = 0
*			两个数组中间的数字是：4.0
*			算法2的输出为：2.0
* 问题分析：浮点型数字相除时，要写成2.0，即带小数位
* 算法描述：无
* 完成时间：2016-11-09
***************************************************************/
package org.GuoGuoFighting.LeetCode04;
import java.util.Scanner;
class SolutionMethod1{
	public double findMedianSortedArrays(int[] nums1, int[] nums2) {
/*		
		for(int j = 0; j < nums1.length;j++){
			System.out.println(",nums1= "+ nums1[j]);
		}
		for(int j = 0; j < nums2.length;j++){
			System.out.println(",nums2= "+ nums2[j]);
		}
		*/
		if(nums1 == null && nums2 != null){
			return getMiddle(nums2);
		}
		if(nums2 == null && nums1 != null){
			return getMiddle(nums1);
		}
		if(nums2 == null && nums1 == null){
			return -1;
		}
//		double result = 0;
		int length1 = nums1.length;
		int length2 = nums2.length;
		int lengthsum = length1 + length2;
		
		int i = 0;
		int j = 0;
		int k = 0;
		int[] newarray = new int[lengthsum];
		
		while(i < length1 && j < length2 && k < lengthsum){
			while(i < length1 && j < length2 && nums1[i] <= nums2[j]){
				newarray[k] = nums1[i];
				i++;
				k++;
				if(i == length1 ){
					//i--;
					break;
				}
			}
			
			while(j < length2 && i < length1 && nums1[i] > nums2[j]){
				newarray[k] = nums2[j];
				j++;
				k++;
				if(j == length2){
					j--;
					break;
				}
			}
			while(j == length2 && i < length1){
				newarray[k] = nums1[i];
				i++;
				k++;
				if(i == length1){
					break;
				}
			
			}
			while(i == length1 && j < length2){
				newarray[k] = nums2[j];
				j++;
				k++;
				if(j == length2){
					break;
				}
			}
		}
		/*for(int m = 0; m < newarray.length; m++){
			System.out.print(newarray[m] + ",");
		}*/
		return getMiddle(newarray);
    }
	
	public double getMiddle(int[] newarray){
		if(newarray == null){
			return -1;
		}
		for(int i = 0; i < newarray.length; i++){
			System.out.println(newarray[i] + " ");
		}
		int len = newarray.length;
		double result;
		int tmp = len/2;
		System.out.println("len = " + len + ", tmp = " + tmp);
		if(len%2 == 1){
			result = newarray[tmp];
		}
		else{
			result = (newarray[tmp] + newarray[tmp-1])/2.0;		//注意！！：此处除的应该为2.0，而不是2，是2的话则会返回一个整数，无法返回小数
		}
		return result;
	}
}
class SolutionMethod2{
	public double findMedianSortedArrays(int[] nums1,int[] nums2){
		int len = nums1.length + nums2.length;
		if(len % 2 == 1){
			return findKth(nums1,0,nums2,0,len/2 + 1);
		}
		return(findKth(nums1,0,nums2,0,len/2) + findKth(nums1,0,nums2,0,len/2 +1))/2.0;
	}
	public static int findKth(int[] A,int A_start,int[] B,int B_start,int k){
		/*
		判断输入的数组A是否为空，若为空则返回B数组的中间数字：B_start + k - 1 指向B的中间数字
		*/
		if(A_start >= A.length){
			return B[B_start + k - 1];
		}
		/*
		判断输入的数组A是否为空，若为空则返回B数组
		*/
		if(B_start >= B.length){
			return A[A_start + k -1];
		}
		
		if(k == 1){
			return Math.min(A[A_start], B[B_start]);		//两个值中最小的那个必定是中位数
		}
		
		int A_key = A_start + k / 2 - 1 < A.length ?       	//找到第k/2小的元素
				A[A_start + k / 2 - 1]:Integer.MAX_VALUE;   // Integer.MAX_VALUE :返回Java中Integer的最大值，即32767
		int B_key = B_start + k / 2 - 1 < B.length ?
				B[B_start + k / 2 - 1]:Integer.MAX_VALUE;		
		
		if(A_key < B_key){
			/*将比A[k/2-1]之前的元素全部抛弃，因为这些元素合并后不可能大于合并后的第
			k小值，即中间数不可能在这些数字中出现*/
			return findKth(A,A_start + k / 2,B,B_start, k-k/2);
		}else{
			/*将比B[k/2-1]之前的元素全部抛弃，因为这些元素合并后不可能大于合并后的第
			k小值，即中间数不可能在这些数字中出现*/
			return findKth(A,A_start,B,B_start + k/2,k-k/2);  		
		}
	}
}
public class MedianofTwoSortArrays {
	public static void main(String[] args){
		
		Scanner scanner = new Scanner(System.in);
		System.out.println("请输入第一个数组：");
		String str1 = scanner.nextLine();
		String[] tmp1 = str1.split(" ");
		int[] arr1 = new int[tmp1.length];
		for(int i = 0; i < arr1.length; i++){
			arr1[i] = Integer.parseInt(tmp1[i]);
		}
		
		System.out.println("请输入第二个数组：");
		String str2 = scanner.nextLine();
		String[] tmp2 = str2.split(" ");
		int[] arr2 = new int[tmp2.length];
		for(int i = 0; i < arr2.length; i++){
			arr2[i] = Integer.parseInt(tmp2[i]);
		}
		scanner.close();
		int[] arr3 = new int[1];
		int[] arr4 = new int[1];
		arr4[0] = 4;
		arr3[0] = 0;
		SolutionMethod1 solution1 = new SolutionMethod1();
		SolutionMethod2 solution2 = new SolutionMethod2();
		//System.out.println("两个数组中间的数字是：" + solution1.findMedianSortedArrays(arr1, arr2));
		System.out.println("两个数组中间的数字是：" + solution1.findMedianSortedArrays(null, arr4));
		System.out.println("算法2的输出为：" + solution2.findMedianSortedArrays(arr3, arr4));
	}
}

程序运行结果：