剑指Offer面试题32：从1到n整数中1出现的次数 Java实现

题目：从1到n的整数中1出现的次数

           输入一个整数n,求从1到n这n个整数的十进制表示中1出现的次数。例如输入12，从1到12这些整数中包含1的数字有：1,10,11,12，1一共出现了5次。

算法分析：

1.最直观的算法就是累加1到n中每个整数出现的次数。我们可以每次通过对10求余后判断整数的个位是不是1，如果这个数组大于10，除以10之后再判断个位数字是不是1.这种算法的时间复杂度为O（n*logn）.运算效率不高。

2。从数字规律入手。

参考博客:http://www.cnblogs.com/nailperry/p/4752987.html  里面有一个普遍的规律公式，可用于统计1-9任意数字出现的次数。

下面内容摘自该博客：

一、1的数目

 

编程之美上给出的规律：

 

1. 如果第i位（自右至左，从1开始标号）上的数字为0，则第i位可能出现1的次数由更高位决定（若没有高位，视高位为0），等于更高位数字X当前位数的权重10i-1。

 

2. 如果第i位上的数字为1，则第i位上可能出现1的次数不仅受更高位影响，还受低位影响（若没有低位，视低位为0），等于更高位数字X当前位数的权重10i-1+（低位数字+1）。

 

3. 如果第i位上的数字大于1，则第i位上可能出现1的次数仅由更高位决定（若没有高位，视高位为0），等于（更高位数字+1）X当前位数的权重10i-1。

 

二、X的数目

 

这里的 X∈[1,9]，因为 X=0 不符合下列规律，需要单独计算。

 

首先要知道以下的规律：

 

从 1 至 10，在它们的个位数中，任意的 X 都出现了 1 次。

从 1 至 100，在它们的十位数中，任意的 X 都出现了 10 次。

从 1 至 1000，在它们的百位数中，任意的 X 都出现了 100 次。

依此类推，从 1 至 10i，在它们的左数第二位（右数第 i 位）中，任意的 X 都出现了 10i−1 次。

 

这个规律很容易验证，这里不再多做说明。

 

接下来以 n=2593,X=5 为例来解释如何得到数学公式。从 1 至 2593 中，数字 5 总计出现了 813 次，其中有 259 次出现在个位，260 次出现在十位，294 次出现在百位，0 次出现在千位。

 

现在依次分析这些数据，首先是个位。从 1 至 2590 中，包含了 259 个 10，因此任意的 X 都出现了 259 次。最后剩余的三个数 2591, 2592 和 2593，因为它们最大的个位数字 3 < X，因此不会包含任何 5。（也可以这么看，3<X，则个位上可能出现的X的次数仅由更高位决定，等于更高位数字（259）X101-1=259）。

 

然后是十位。从 1 至 2500 中，包含了 25 个 100，因此任意的 X 都出现了 25×10=250 次。剩下的数字是从 2501 至 2593，它们最大的十位数字 9 > X，因此会包含全部 10 个 5。最后总计 250 + 10 = 260。（也可以这么看，9>X，则十位上可能出现的X的次数仅由更高位决定，等于更高位数字（25+1）X102-1=260）。

 

接下来是百位。从 1 至 2000 中，包含了 2 个 1000，因此任意的 X 都出现了 2×100=200 次。剩下的数字是从 2001 至 2593，它们最大的百位数字 5 == X，这时情况就略微复杂，它们的百位肯定是包含 5 的，但不会包含全部 100 个。如果把百位是 5 的数字列出来，是从 2500 至 2593，数字的个数与百位和十位数字相关，是 93+1 = 94。最后总计 200 + 94 = 294。（也可以这么看，5==X，则百位上可能出现X的次数不仅受更高位影响，还受低位影响，等于更高位数字（2）X103-1+（93+1）=294）。

 

最后是千位。现在已经没有更高位，因此直接看最大的千位数字 2 < X，所以不会包含任何 5。（也可以这么看，2<X，则千位上可能出现的X的次数仅由更高位决定，等于更高位数字（0）X104-1=0）。

 

到此为止，已经计算出全部数字 5 的出现次数。

 

总结一下以上的算法，可以看到，当计算右数第 i 位包含的 X 的个数时：

 

取第 i 位左边（高位）的数字，乘以 10i−1，得到基础值 a。

取第 i 位数字，计算修正值：

如果大于 X，则结果为 a+10i−1。

如果小于 X，则结果为 a。

如果等 X，则取第 i 位右边（低位）数字，设为 b，最后结果为 a+b+1。

相应的代码非常简单，效率也非常高，时间复杂度只有 O(log10n)。

但是，值得注意的是，该公式无法统计数字“0”，关于统计0出现的次数，仍需进一步改进算法。

public int NumberOfXBetween1AndN_Solution(int n,int x) {
        if(n<0||x<1||x>9)
            return 0;
        int high,low,curr,tmp,i = 1;
        high = n;
        int total = 0;
        while(high!=0){
            high = n/(int)Math.pow(10, i);// 获取第i位的高位
            tmp = n%(int)Math.pow(10, i);
            curr = tmp/(int)Math.pow(10, i-1);// 获取第i位
            low = tmp%(int)Math.pow(10, i-1);// 获取第i位的低位if(curr==x){
                total+= high*(int)Math.pow(10, i-1)+low+1;
            }else if(curr<x){
                total+=high*(int)Math.pow(10, i-1);
            }else{
                total+=(high+1)*(int)Math.pow(10, i-1);
            }
            i++;
        }
        return total;        
    }





本题源程序：
/**************************************************************      
* Copyright (c) 2016, 
* All rights reserved.                   
* 版 本 号：v1.0                   
* 题目描述：
* 		       
* 输入描述：请输入一个正整数：
*			2593：
*			请输入x的值：
*			5
* 程序输出：5的个数为：813
* 问题分析： 无
* 算法描述：Google经典面试题，详见http://www.cnblogs.com/nailperry/p/4752987.html，神一样的算法
* 完成日期：2016-09-19
***************************************************************/
package org.marsguo.offerproject32;

import java.util.Scanner;

class NumberOf1Between_Solution{
	public int NumOf1Function(int number,int x){
		
		if(number < 0 || x < 1 || x > 9)
			return 0;
		int high,low,current,temp;			//high为第i位之前的所有数字，low为第i位之后的所有数字，current为当前计算的数字，
		int i=1;				//i为第i位，从右至左，从1开始标号
		int total = 0;
		high = number;
		/*以2593，i指向9为例*/
		while(high != 0){
			System.out.println("i= " + i);
			high = number/(int)Math.pow(10, i);			//获取比第i位高的所有位数，                           2593/100取整=25=high
			System.out.println("high = " + high);
			temp = number%(int)Math.pow(10, i);			//临时变量，用于求current和low		   2593%100=93
			System.out.println("temp = " + temp);
			current = temp/(int)Math.pow(10, i-1);		//当前需要计算的数字，即i所指向的数字	   93/10取整=9=current
			System.out.println("current = " + current);
			low = temp%(int)Math.pow(10, i-1);			//比i低的所有数字					   93%10 = 3 = low
			System.out.println("low = " + low);
			if(current == x){
				total += high*(int)Math.pow(10,i-1)+low+1;
			}
			else if(current < x){
				total += high*(int)Math.pow(10, i-1);
			}
			else{
				total += (high + 1)*(int)Math.pow(10, i-1);
			}
			i++;
			System.out.println();
		}
		return total;
	}
}

public class NumberOf1BetweenN {
	public static void main(String[] args){
		Scanner scanner = new Scanner(System.in);
		System.out.println("请输入一个正整数：");
		int num = scanner.nextInt();
		System.out.println("请输入x的值：");
		int x = scanner.nextInt();
		scanner.close();						//scanner使用后需要close,否则报警告。
		
		NumberOf1Between_Solution num_solution = new NumberOf1Between_Solution();
		System.out.println(x + "的个数为：" + num_solution.NumOf1Function(num, x));
	}
}



程序运行结果：