NKOI 3559 子串

【NOIP2015 Day2】子串

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Total Submit:2 Accepted:2 
Case Time Limit:1000MS

Description

        有两个仅包含小写英文字母的字符串A和B。现在要从字符串A中取出k个互不重叠的非空子串，然后把这k个子串按照其在字符串A中出现的顺序依次连接起来得到一个新的字符串，请问有多少种方案可以使得这个新串余字符串B相等？注意：子串取出的位置不同也认为是不同的方案。 

Input

        /*输入文件名为substring.in。*/ 
        第一行是三个正整数n,m,k，分别表示字符串A的长度，字符串B的长度，以及问题描述中所提到的k，每两个整数之间用一个空格隔开。 
        第二行包含一个长度为n的字符串，表示字符串A。 
        第三行包含一个长度为m的字符串，表示字符串B。 

Output

        /*输出文件名为substring.out。*/ 
        输出共一行，包含一个整数，表示所求方案数。由于答案可能很大，所以这里要求输出答案1,000,000,007取模的结果。 

Sample Input

样例输入1：
6 3 1
aabaab
aab

样例输入2：
6 3 2
aabaab
aab

样例输入3：
6 3 3
aabaab
aab

Sample Output

样例输出1：
2

样例输出2：
7

样例输出3：
7

Hint

输入输出样例说明： 
所有合法方案如下：（加下划线的部分表示取出的子串） 
样例1：aab aab / aab aab 
样例2：a ab aab / a aba ab / a a ba ab / aab a ab / aa b aab / aa baa b / aab aa b 
样例3：a a b aab / a a baa b / a ab a a b / a aba a b / a a b a a b / a a ba a b / aab a a b 

数据规模与约定： 
        对于第1组数据：1<=n<=500, 1<=m<=50, k=1； 
        对于第2组至第3组数据：1<=n<=500, 1<=m<=50, k=2； 
        对于第4组至第5组数据：1<=n<=500, 1<=m<=50, k=m； 
        对于第1组至第7组数据：1<=n<=500, 1<=m<=50, 1<=k<=m； 
        对于第1组至第9组数据：1<=n<=1000, 1<=m<=100, 1<=k<=m； 
        对于所有10组数据：1<=n<=1000, 1<=m<=200, 1<=k<=m。 

Source

感谢nodgd手打题目

首先我们看的出来这是一道动归

状态：f[k][i][j]表示用A串中的前i个字母构成了k段，已经构成了B串的前j个字符的方案总数。

f[k][i][j]=
                   ∑ f[k-1][p][j-1]                              条件：A[i]==B[j]且A[i-1]!=B[j-1]     0<p<i 
                   ∑ f[k-1][p][j-1]+f[k][i-1][j-1]     条件：A[i]==B[j]且A[i-1]==B[j-1]     0<p<i 

第一个是A[i]独立开辟出一个段的方案数

第二个是把A[i]加入之前的第k段。算上之前就已经分了k个部分后，把第k个部分扩大的方案数

时间复杂度：O(nm2k)   显然会超时

观察发现，每次都要计算前缀状态和∑ dp[k-1][p][j-1]
我们可以用一个Sum[ ][ ][ ]数组来记录下来，避免重复计算,
Sum[k][i][j] = dp[k][i][j] + Sum[k][i-1][j];
时间复杂度可降至  O(nmk) 

我们观察发现dp[k][...][...]只跟dp[k-1][...][...]有关，滚动数组处理即可！

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
using namespace std;
const int mod=1000000007;
int K,n,m;
char a[1005],b[205];
int f[2][1005][205],sum[2][1005][205];
int main(){
	scanf("%d%d%d",&n,&m,&K);
	scanf("%s%s",a+1,b+1);
	int i,j,k;
	f[0][0][0]=1;
	for(i=0;i<=n;i++)
	    sum[0][i][0]=1;/初始化
	for(k=1;k<=K;k++){
		memset(sum[k&1],0,sizeof(sum[k&1]));
		memset(f[k&1],0,sizeof(f[k&1]));
		for(i=1;i<=n;i++)
		    for(j=1;j<=m;j++){
		    	if(a[i]==b[j]){
		    		f[k&1][i][j]=sum[(k-1)&1][i-1][j-1];
		    		if(a[i-1]==b[j-1])
		    		    f[k&1][i][j]=(f[k&1][i][j]+f[k&1][i-1][j-1])%mod;
				}
				sum[k&1][i][j]=(sum[k&1][i][j]+f[k&1][i][j]+sum[k&1][i-1][j])%mod;
			}
	}
	int ans=0;
	for(i=1;i<=n;i++)
	    ans=(ans+f[K&1][i][m])%mod;
	cout<<ans;
}