3.3 图像几何变换——缩小和放大

1. 图片缩小

比例缩放前后两点 $P_0(x_0,y_0)$、$P(x,y)$ 之间的关系用矩阵形式可以表示为

$$\left[\begin{array}{c}x\\ y\\ 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}{f}_x& 0& 0\\ 0& f_y& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{x}_0\\ y_0\\ 1\end{array}\right]$$

在数字图像中，图像缩小是通过减少像素个数实现，关键在于怎么去掉一部分像素点，而尽可能保持原有图像的概貌特征。下面介绍两种简单的图像缩小技术。
为了理解算法，应该先把图像想成是连续的，然后再四舍五入取离散值。比如计算后得出，缩小后的图像点 $(2,2)$ 的像素值与原图像 $(2.1,2.8)$ 处相等，就四舍五入取原图像 $(2,3)$ 处的坐标。
为了便于叙述，放大或缩小前的图像为原图像 $R$，可理解为单词 $raw$，放大或缩小后的图像为新图像 $S$，$R$的后面一个字母。

• 最近邻采样
  原图像为 $R(x,y)$，新图像为 $S(x,y)$，设原图像和新图像 $x$ 方向和 $y$ 方向比例分别为 $r_x,r_y$，这个 $r_x,r_y$ 也可以看作是下采样的采样间隔。
  为了方便理解缩小，把原图像看作是新图像的放大，则新图像在 $(x,y)$ 处的灰度值 $S(x,y)$，有
  $$S(x,y)=R(r_x\cdot x,r_y\cdot y)$$
  如果 $r_x\cdot x$ 算出来是小数，四舍五入即可，其余同理。其实新图像的坐标

• 局部平均值采样
  找出两次采样间的子块，然后求平均值为当前像素值。比如原图像大小为 $4\times 4$，要缩小为 $2\times 2$，则缩小后图像 $(1,1)$ 的值就是原图像的左上角的 $2\times 2$ 的局部单元像素的平均值。对于小数也差不多，四舍五入。在实际编程中，都是直接调用函数，不必为各种繁琐的四舍五入操心。

2. 图像放大

• 最近邻采样
  和上面所述的差不多，举例说明。比如原来 $10\times 10$ 的图片，放大到 $15\times 15$，即放大了 $1.5$ 倍，要计算新图像在 $(10,11)$, 则对应原图像 $(10/1.5,11/1.5)=(6.7,7.3)$ 处的像素值，四舍五入取整原图像 $(7,7)$ 处的像素值即可。

• 线性插值法
  线性插值法就是找周围最近的几个点，线性组合取值。举个简单的例子说明。和刚刚的最近邻采样条件一样，也求 $(10，11)$ 处的坐标。上面求处该坐标对应原图像 $R(6.7,7.3)$ 处的值，此时应找距离 $R(6.7,7.3)$ 最近的几个点，即 $(6,7),(6,8),(7,7),(7,8)$ 四点加权来算新图像的像素值，距离近则权值大。大家可以自己在纸上画个图，可以先看 $x$ 方向，再看 $y$ 方向。
  $x$ 方向，根据距离远的权值小，有：
  $$R(6.7,y)=(1-0.7)R(6,y)+0.7R(7,y)$$
  则可以算出 $R(6.7,7)$, $R(6.7,8)$。再次使用加权可求 $R(6.7,7.3)$
  即有：
  $$R(6.7,7.3)=(1-0.3)R(6.7,7)+0.3R(6.7,8)$$
  最终算出原图像 $R(6.7,7.3)$ 处的像素值，也即新图像 $(10,11)$ 处的像素值。

OpenCv实战

直接用 resize 函数即可实现放大缩小。

cv.resize(img, dsize, [interpolation])

import cv2 as cv
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

def show(img):
    plt.imshow(cv.cvtColor(img, cv.COLOR_BGR2RGB), cmap='gray', vmin=0, vmax=255)
    plt.show()

img = cv.imread('pic/rabbit50x33.jpg') # 路径更换成新的图片
img_resize1 = cv.resize(img, (330, 500), interpolation=cv.INTER_NEAREST)
img_resize2 = cv.resize(img, (330, 500), interpolation=cv.INTER_LINEAR)

show(img)
show(np.hstack([img_resize1, img_resize2]))