快速幂算法C++

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一、前置知识

1.二进制表示数字

注意：每个十进制数都可以由唯一的二进制数表示.

EXAPMPLE：

$13=(1101{)}_2=1\times 2^0+0\times 2^1+1\times 2^2+1\times 2^3$

2.位运算

a.& 运算符

&运算符可以直接对二进制进行操作，1&1=1，1&0=0，0&1=0，0&0=0,因为奇数的二进制表示末尾数字都是1，所以 &可以直接用来判断奇偶性

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

int main(){
	int a;cin>>a;
	if(a&1) cout<<"a是奇数"<<"\n";
	else cout<<"a是偶数"<<"\n";
	return 0;
}

b.“<<”左移 和 “>>”右移 运算符

在此处你只需要记住>>n代表除$2^n$，<<n代表乘$2^n$

EXAMPLE：

$12=(1100{)}_2>>1---(110{)}_2=6$

$12=(1100{)}_2<<1---(11000{)}_2=24$

3.分治思想

 分治策略（Divide and Conquer）是一种算法设计策略，通过将一个问题分解成多个相同或类似的子问题，然后递归地解决这些子问题，并将它们的解合并起来得到原问题的解。分治策略通常包括三个步骤：分解（Divide）、解决（Conquer）、合并（Combine）。

• 分解（Divide）：将原始问题划分为若干个规模较小、结构与原问题相似的子问题。这通常是通过递归地将问题划分成更小的子问题来完成的。
• 解决（Conquer）：递归地解决各个子问题。当子问题的规模足够小时（可以直接求解），不再需要继续递归时，就称为“基本情况”。
• 合并（Combine）：将子问题的解合并成原始问题的解。这一步通常在递归的过程中完成，而不是在最后进行。

分治策略的优势在于它可以将复杂的问题分解成相对简单的子问题，使得问题的求解更加清晰和高效。然而，分治策略并不适用于所有类型的问题，有时候子问题之间的合并成本可能很高，从而抵消了分解所带来的收益。

二、快速幂是什么？

 简而言之，快速幂算法是用来快速计算指数表达式的值的一种算法，例如$2^{1000000000}$,普通的计算方法 $2\times 2\times 2\times ......$乘1000000000-1次，而计算机1s最多运行$5\times 10^8$次，所以普通算法无法满足要求。而快速幂算法的时间复杂度为O(log n)，其中n为指数的位数，所以只需要运算28.897353次，满足要求。相比于传统的逐次相乘的方法，时间复杂度更低，尤其是在指数很大的情况下，优化效果更加明显。
 例：$2^{13}$只需要计算3次即可得出结果,首先$13/2=6$,$6/2=3$,$3/2=1$。

 注意此处对时间复杂度的优化只考虑乘法的循环次数，右移操作和内部乘法操作都视为常数操作，忽略不计，原本优化之前乘法运算要循环n次，而优化之后只需要运算log n次，如1e12最后只需要40次，所以优化效果明显。

三、算法理解+代码实现

前置知识 $(a\times b\times c\times d)\mathrm{mod}p=(((a\times b)p\times c)\mathrm{mod}p\times d)\mathrm{mod}p$

1.经典理解方法

$3^{10}=(3^2{)}^5=9^5=9\times 9^4=9\times (81{)}^2=9\times ({81}^2{)}^1$

//此处以3^10为例进行解释说明
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

#define int long long
const int mod=998244353;

int quickrow(int a,int b){//注意a表示底数,b表示指数
    int ans=1;//用来储存答案
    while(b){//若指数不为零，就进行运算
        if(b%2==1){//若指数为奇数，则提出一个底数，进行偶指数运算，如9^5变成9*9^4
            ans=ans*a%mod;//将拿出来的底数乘到ans中
            a=a*a%mod;//底数平方
            b/=2;//指数除2
        }
        else {//偶数直接进行指数和底数操作
            a=a*a%mod;
            b/=2;
        }
    }
    return ans%mod;//返回答案
}
signed main(){
	int a,b;cin>>a>>b;
	cout<<quickrow(a,b);
	return 0;
}

2.二进制分解理解法(精简版)

$2^{13}=2^{(1101)}=2^8\times 2^4\times 2^1$

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

#define int long long
const int mod=998244353;

int quickrow(int a,int b){
    int ans=1;
    while(b){//将指数看成二进制形式
        if(b&1) ans=ans*a%mod;//如果是1说明存在
        a=a*a%mod;//a不管二进制位是0还是1，都不断的自乘
        b>>=1;//右移一位
    }
    return ans%mod;
}
signed main(){
	int a,b;cin>>a>>b;
	cout<<quickrow(a,b);
	return 0;
}

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总结

  此算法较为常用，建议记住，下一篇讲解利用快速幂求解逆元