多段图规划

一个5段图。

求一条从 $s$ 到 $t$ 的成本最小的路径。

多段图问题满足最优性原理。
证明：反证法。
设 $s,\cdots ,V_{i_p},\cdots ,V_{j_q},\cdots ,t$ 是一条从 $s$ 到 $t$ 的最短路径，但其子路径 $V_{i_p},\cdots ,V_{j_q},\cdots ,t$ 不是最优的。假设最优路径是 $V_{i_p},\cdots ,V_{j_q}^{\prime },\cdots ,t$，重新构造一条路径 $s,\cdots ,V_{i_p},\cdots ,V_{j_q}^{\prime },\cdots ,t$，显然，该路径长度小于 $s,\cdots ,V_{i_p},\cdots ,V_{j_q},\cdots ,t$。与 $s,\cdots ,V_{i_p},\cdots ,V_{j_q},\cdots ,t$ 是从 $s$ 到 $t$ 的最短路径相矛盾，所以原问题满足最优性原理。

递归式推导：

设 $cost(i,j)$ 是结点 $V_i$ 中结点 $V_{i_j}$ 到结点 $t$ 的最小成本路径的成本，递归式为：
c o s t ( i , j ) = { c ( j , t ) i = t − 1 m i n { v l ∈ V i + 1 } { c ( j , l ) + c o s t ( i + 1 , l ) } 1 ≤ i < t − 1 cost(i, j)=\begin{cases} c(j, t) & i = t - 1 \\ min_{\{v_l \in V_{i+1}\}}\{c(j, l)+cost(i+1,l)\} & 1 \le i \lt t-1\\ \end{cases} cost(i,j)={c(j,t)min{vl​∈Vi+1​}​{c(j,l)+cost(i+1,l)}​i=t−11≤i<t−1​
计算过程：

• $cost(4，9)=c(9,12)=4$；

  • cost（4， 9）：4 代表 $V_4$ 那一列，9 代表 $V_4$ 那一列的结点 9。
  • c（9， 12）：9 代表结点 9，12 代表结点 12。

• $cost(4，10)=c(10,12)=2$；

• $cost(4，11)=c(11,12)=\infty$；

• c o s t ( 3 , 6 ) = m i n { c ( 6 , 9 ) + c o s t ( 4 , 9 ) , c ( 6 , 10 ) + c o s t ( 4 , 10 ) } = m i n { 6 + 4 , 5 + 2 } = 7 cost(3, 6) = min\{c(6, 9)+cost(4, 9), c(6, 10) + cost(4, 10)\} = min\{6+4, 5+2\} = 7 cost(3,6)=min{c(6,9)+cost(4,9),c(6,10)+cost(4,10)}=min{6+4,5+2}=7；

  • c(6, 9)+cost(4, 9)：从6-9-12这条路线
  • c(6, 10) + cost(4, 10)：从6-10-12这条路线

• …

• c o s t ( 1 , 1 ) = m i n { 9 + c o s t ( 2 , 2 ) , 7 + c o s t ( 2 , 3 ) , 3 + c o s t ( 2 , 4 ) , 2 + c o s t ( 2 , 5 ) } = 16 cost(1,1)=min\{9+cost(2,2),7+cost(2,3),3+cost(2,4),2+cost(2,5)\}=16 cost(1,1)=min{9+cost(2,2),7+cost(2,3),3+cost(2,4),2+cost(2,5)}=16

构造解：解1（1， 2， 7， 10， 12），解2（1， 3， 6， 10， 12）。