最短路径之Floyd—Warshall算法

目的：求任意两点的最短路径

1.       用Graph[][]记录每对vertex的minimal distance（用adjacency matrix来存储边）

2.       依次扫描每个vertex，并以其为基点再遍历所有每一对vertex Graph[][]的值，看看是否可用中介点让这对顶点间的距离更小，最后求出所有vertex之间的最短路径。

3.       时间复杂度O(n^3)

4.       算法理解：
最短距离有三种情况：
１、两点的直达距离最短。（如下图<v,x>）
２、两点间只通过一个中间点而距离最短。（图<v,u>）
３、两点间用通过两各以上的顶点而距离最短。（图<v,w>）

对于第一种情况：在初始化的时候就已经找出来了且以后也不会更改到。
对于第二种情况：弗洛伊德算法的基本操作就是对于每一对顶点，遍历所有其它顶点，看看可否通过这一个顶点让这对顶点距离更短，也就是遍历了图中所有的三角形（算法中对同一个三角形扫描了九次，原则上只用扫描三次即可，但要加入判断，效率更低）。
对于第三种情况：如下图的五边形，可先找一点（比如x，使<v,u>=2），就变成了四边形问题，再找一点（比如y,使<u,w>=2），可变成三角形问题了（v,u,w），也就变成第二种情况了，由此对于n边形也可以一步步转化成四边形三角形问题。（这里面不用担心哪个点要先找哪个点要后找，因为找了任一个点都可以使其变成（n－1）边形的问题）。

floyd的核心代码:

for (k=0;k<g.vexnum;k++)
{
    for (i=0;i<g.vexnum;i++)
    {
        for (j=0;j<g.vexnum;j++)
        {
            if (distance[i][j]>distance[i][k]+distance[k][j])
            {
                distance[i][j]=distance[i][k]+distance[k][j];
            }
        }
    }
}

结合代码 并参照上图所示 我们来模拟执行下 这样才能加深理解：
第一关键步骤：当k执行到x，i=v,j=u时，计算出v到u的最短路径要通过x，此时v、u联通了。
第二关键步骤：当k执行到u，i=v，j=y，此时计算出v到y的最短路径的最短路径为v到u，再到y(此时v到u的最短路径上一步我们已经计算过来，直接利用上步结果)。
第三关键步骤：当k执行到y时，i=v，j=w，此时计算出最短路径为v到y(此时v到y的最短路径长在第二步我们已经计算出来了)，再从y到w。

依次扫描每一点(k)，并以该点作为中介点，计算出通过k点的其他任意两点(i,j)的最短距离，

 

这就是floyd算法的精髓！同时也解释了为什么k点这个中介点要放在最外层循环的原因.