44、图论中树的生成与稳定婚姻问题的随机近似算法

图论中树的生成与稳定婚姻问题的随机近似算法

在图论研究中，树的生成以及稳定婚姻问题都是重要的研究方向。下面将详细介绍树的生成算法，包括毛毛虫树、平面毛毛虫树、蜘蛛树和蝎子树的生成，以及稳定婚姻问题的随机近似算法。

树的生成算法

• 毛毛虫树的生成
  • 对于有(n)个顶点且直径为(d)的毛毛虫树，通过对直径(k = 2, 3, \cdots, d)的每个值执行特定算法，可以生成所有毛毛虫树，且该算法生成每个毛毛虫树的时间复杂度为(O(1))。
  • 若序列(L)对称，会选择最大索引(k)（(1 \leq k \leq d - 3)且(c_k \neq 0)），将(c_k)的值减(1)，并设置(c_{k + 1} = c_{d - 2} + c_{d - 1} + 1)，(c_{d - 2} = c_{d - 1} = 0)。利用此思想，经过(O(d))的预处理时间，能以(O(1))的时间生成每个毛毛虫树，算法总共使用(O(d))的空间。
• 平面毛毛虫树的生成
  • 平面毛毛虫树是具有固定平面嵌入的图。对于有(n)个顶点和直径(d)的平面毛毛虫树，选择长度为(d)的路径(P_d = (u_0, u_1, \cdots, u_d))作为主干。
  • 对于(P_d)上的每个(u_i)（(2 \leq i \leq d - 2)），按顺时针列出其相邻顶点的序列。对于主干为(P_d)的平面毛毛虫树，其标签序列可表示为((c(1), a(2), a(3), \cdots, a(d -