SDOI2017 数字表格

传送门
$$f[0]=0,f[1]=1,f[i]=f[i-1]+f[i-2](i⩾2)$$
$$ans=\prod _{i=1}^n\prod _{j=1}^{m}f[gcd(i,j)]$$
$$ans=\prod _{i=1}^n\prod _{j=1}^m\prod _{t=1}^{min(n,m)}[gcd(i,j)==t]f[t]$$
$$ans=\prod _{t=1}^{min(n,m)}f[t{]}^{{\sum }_{i=1}^n{\sum }_{j=1}^m[gcd(i,j)==t]}$$
令指数为$p[t]$：
$$p[t]=\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^m[gcd(i,j)==t]$$
$$=\sum _{i=1}^{\lfloor \frac{n}{t}\rfloor }\sum _{j=1}^{\lfloor \frac{m}{t}\rfloor }[gcd(i,j)==1]$$
$$=\sum _{i=1}^{\lfloor \frac{n}{t}\rfloor }\sum _{j=1}^{\lfloor \frac{m}{t}\rfloor }\sum _{d|i,d|j}\mu (d)$$
$$=\sum _{d=1}\mu (d)\ast \lfloor \frac{n}{d\ast t}\rfloor \lfloor \frac{m}{d\ast t}\rfloor$$
这时候，一次询问需要：$O(n)$枚举$t$，每次再$O(\sqrt{\frac{n}{t}})$求和。
一个优化套路：令$T=d\ast t$，于是：
$$p[t]=\sum _{t|T,T\in [1,n]}\mu (\frac{T}{t})\ast \lfloor \frac{n}{T}\rfloor \lfloor \frac{m}{T}\rfloor$$
代入答案：
$$ans=\prod _{t=1}^{min(n,m)}f[t{]}^{{\sum }_{t|T,T\in [1,n]}\mu (\frac{T}{t})\ast \lfloor \frac{n}{T}\rfloor \lfloor \frac{m}{T}\rfloor }$$
交换$T$和$t$的枚举顺序：
$$ans=\prod _{T=1}^{min(n,m)}\prod _{t|T}f[t{]}^{\mu (\frac{T}{t})\ast \lfloor \frac{n}{T}\rfloor \lfloor \frac{m}{T}\rfloor }$$
$$ans=\prod _{T=1}^{min(n,m)}(\prod _{t|T}f[t{]}^{\mu (\frac{T}{t})}{)}^{\lfloor \frac{n}{T}\rfloor \lfloor \frac{m}{T}\rfloor }$$
令$R[T]={\prod }_{t|T}f[t{]}^{\mu (\frac{T}{t})}$，这个东西可以调和级数预处理。
处理完过后，一次询问就变为了$O(\sqrt{n})$。于是就做完了。
注意一下可以优化的细节。

#include<bits/stdc++.h>
#define re register
#define cs const
cs int N=1e6+10,mod=1e9+7;
int T,n,m,iR[N],R[N],iF[N],F[N];

inline int add(int x,int y){return x+y>=mod?x+y-mod:x+y;}
inline int dec(int x,int y){return x-y<0?x-y+mod:x-y;}
inline int mul(int x,int y){return 1ll*x*y%mod;}
inline int quickpow(int a,int b,int ret=1){
	if(b<0) b+=mod-1;
	for(;b;b>>=1,a=mul(a,a))
		if(b&1)ret=mul(ret,a);
	return ret;
}
inline int inv(int x){return quickpow(x,mod-2);}
int mark[N],P[N],mu[N],cnt=0;
inline void linear_sieves(){
	mark[0]=mark[1]=1,mu[1]=1;
	for(int re i=2;i<N;++i){
		if(!mark[i]) P[++cnt]=i,mu[i]=-1;
		for(int re j=1;j<=cnt&&i*P[j]<N;++j){
			mark[i*P[j]]=1;
			if(i%P[j]) mu[i*P[j]]=-mu[i];
			else{mu[i*P[j]]=0;break;}
		}
	}
}

inline void prework(){
	F[0]=0,iF[1]=F[1]=1,iR[0]=iR[1]=R[0]=R[1]=1;
	for(int re i=2;i<N;++i) R[i]=1,iF[i]=quickpow(F[i]=add(F[i-1],F[i-2]),mod-2);
	for(int re d=3;d<N;++d)
		for(int re T=d,t=1;T<N;T+=d,++t)
			if(mu[t]!=0) R[T]=mul(R[T],mu[t]==1?F[d]:iF[d]);
	for(int re i=2;i<N;++i) R[i]=mul(R[i-1],R[i]),iR[i]=inv(R[i]);
}

inline int query(int n,int m,int ret=1){
	for(int re i=1,j;i<=std::min(n,m);i=j+1){
		j=std::min(n/(n/i),m/(m/i));
		ret=mul(ret,quickpow(mul(R[j],iR[i-1]),1ll*(n/i)*(m/i)%(mod-1)));
	}return ret;
}
int main(){
	linear_sieves(),prework(),scanf("%d",&T);
	while(T--) scanf("%d%d",&n,&m),printf("%d\n",query(n,m));
}